Главная > Разное > Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

16.12. Влияние докритического сжатия стержня

Изложенный в параграфе 16.4 статический метод Эйлера можно использовать при рассмотрении мягких и приведенных стержней (стержни из эластомеров, пружины", сильфоны и т. п.). При этом, однако, надо учитывать докритическое изменение геометрических характеристик стержня.

Пусть X — постоянная вдоль оси стержня ее кратность удлинения (при сжатия). Снабжая кружками значения

величин до деформации, будем считать

(наличие минуса связано с тем, что здесь сжимающая сила). Согласно (16.26) имеем для критической силы шарнирно опертого стержня выражение

Подставляя сюда выражения (16.80) при отвечающей кратности удлинения и вводя радиус инерции сечения недеформированного стержня [см. (16.10)]

приходим к уравнению

определяющему в зависимости от гибкости недеформированного стержня

Рассмотрим стержень из эластомера, принимая условие несжимаемости. Считая, что поперечное сечение в силу изотропии упругих свойств деформируется во всех поперечных направлениях одинаково, находим из условия несжимаемости

При этом согласно (16.80) и (16.82)

Далее, согласно (3.29) при

где функция типа всестороннего давления. Пренебрегая малыми напряжениями по сравнению с основным (см. параграф 15.2), имеем из 16.84)

Исключая отсюда получаем

Рассмотрим двухпараметрическое семейство упругих потенциалов (5.30)

для которого по (16.85), (16.82), (16.80) и (16.83)

На рис. 16.12 показаны зависимости безразмерного истинного напряжения и условного от кратности удлинения для различных значений

Рис. 16.12

Из (16.87) и (16.80) находим

Подстановка выражений (16.83) и (16.88) в соотношение (16.81) приводит к искомому уравнению

На рис. 16.13 для показана зависимость между гибкостью недеформированного стержня и эйлеровой деформацией. Из рисунка видно, что предельное значение гибкости, при которой еще возможна потеря устойчивости, равно и что предельное значение гибкости мало зависит от изменяясь в пределах (рис. 16.14). Согласно (16.10) и (16.11) для прямоугольного сечения с меньшей стороной а для кругового радиусом

Таким образом, получен любопытный результат: в рамках кирхгофовской теории стержней шарнирно опертый стержень

из эластомера, подчиняющегося закону (16.86), с гибкостью меньше 9 не может потерять устойчивости при сжатии. Согласно (16.80) и (16.83) имеем

где первая эйлерова нагрузка, подсчитанная по размерам недеформированного стержня. Видно, что она быстро увеличивается при возрастании докритического сжатия.

Рис. 16.13

Рис. 16.14

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление