Главная > Разное > Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

16.8. Стержень, сжимаемый следящей силой

Рассмотрим стержень, сжимаемый силой все время направленной по касательной к оси стержня (рис. 16.7). Такие силы относят к следящим. Считая стержень первоначально прямолинейным и свободным от распределенной нагрузки получаем из (16.8), первого уравнения (16.9) и третьего соотношения (16.6)

при следующих из рис. 16.7 концевых условиях:

Рис. 16.7

Третье и четвертое условия означают, что верхний конец стержня свободен от изгибающего момента и перерезывающей силы.

Прежде всего из (16.61) и (16.62) следует С учетом этого и обозначения (16.28) последнее из уравнений (16.61) записывается в виде

Подчиняя его общее решение

второму, третьему и четвертому из условий (16.62), приходим к однородной системе уравнений

с определителем отличным от нуля. Отсюда следует т. е. отсутствие искривленных форм равновесия. Отсутствие искривленных форм равновесия можно непосредственно усмотреть из рис. 16.7. Выделяя на нем элемент изогнутой оси, нетрудно видеть, что следящая сила приводит к моментам, направление которых противоположно направлению искривления элемента.

Из отсутствия искривленной равновесной конфигурации оси можно сделать вывод об устойчивости прямолинейной формы равновесия при любом значении сжимающей силы Этот вывод, однако, неверен, поскольку, как показал Бекк [8, стр. 97], возможна динамическая форма потери устойчивости.

Покажем это путем рассмотрения малых поперечных колебаний сжатого стержня. Вводя в соотношения (16.61), (16.62) поперечные силы инерции, приходим к динамической задаче

Дифференцируя по дуге четвертое уравнение, получаем с помощью остальных динамическую задачу:

Обычным в теории колебаний путем разыскиваем решение в виде

Подставляя это выражение в (16.63) и вводя безразмерную величину

приходим к уравнению

с общим решением

где

Удовлетворение концевым условиям (16.64) приводит к однородной системе уравнений

Приравнивая нулю ее определитель, приходим уравнению

Рис. 16.8

Поведение его наименьших корней показано на рис. 16.8, б. При отсутствии сжимающей силы и корни уравнения (16.66) вещественны. При возрастании корни сближаются и при становятся кратными. При дальнейшем увеличении корни уже комплексно сопряженные. Один из них имеет отрицательную мнимую часть. Согласно (16.65) амплитуда колебания растет во времени. Таким образом, отвечает критической сжимающей силе Бекк, первым получивший корректное решение этой задачи, подсчитал:

Таким образом, динамический подход в отличие от статического привел в рассматриваемой задаче к правильному результату:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление