Главная > Разное > Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

16.7. Динамический подход

Рассмотрим малые поперечные колебания продольно сжатого стержня. Учитываем лишь поперечные инерционные силы. Считаем стержень первоначально прямым, шарнирно опертым и свободным от распределенной нагрузки. С учетом сказанного находим из (16.8), (16.9), (16.2) и (16.3)

Дифференцируя по дуге третье уравнение и исключая с помощью остальных из полученного приходим к разрешающему уравнению

При этом прогиб должен удовлетворять следующим концевым условиям:

Общее решение задачи (16.56)-(16.57) ищем в виде наложения так называемых собственных колебаний

каждое из которых удовлетворяет концевым условиям. Подстановка этих выражений в разрешающее уравнение (16.56) приводит к формулам

для круговых частот собственных колебаний

Пока все скобки положительны, вещественны и выражения (16.58) имеют ограниченные во времени амплитуды, определяемые начальными условиями (возмущениями). Если хотя бы одна из скобок отрицательна, отвечающие ей значения частот становятся чисто мнимыми: . А тогда из пары собственных колебаний (16.58), имеющих вид

амплитуда первого неограниченно растет со временем и колебания становятся неограниченными при сколь угодно малых возмущениях.

Заметим, что неограниченное возрастание амплитуды имеет место уже при равенстве скобки нулю. В самом деле, при этом

уравнение (16.56) принимает вид

и ему удовлетворяет решение

с монотонно возрастающей амплитудой.

Таким образом, коль скоро какая-либо из скобок (16.59) перестает быть положительной, решение уравнения (16.56) при сколь угодно малых возмущениях неограниченно растет во времени. это и означает неустойчивость положения равновесия.

Из сказанного и выражений (16.59) следует, что положение равновесия устойчиво пока и неустойчиво при т. е. при достижении сжимающей силой значения первой эйлеровой силы.

Из содержания этого и предшествующих параграфов следует, что применительно к рассматриваемой задаче использованные статические и динамический подходы дают одно и то же критическое значение сжимающей силы — первую эйлерову силу. Но так бывает далеко не всегда. Это обнаруживается уже в следующем параграфе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление