Главная > Разное > Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

16.4. Статический метод Эйлера

Рассмотрим ту же задачу, но уже в предположении малости угла поворота. При этом согласно (16.7), (16.12) — (16.15)

Подстановка второго выражения в первое приводит к разрешающим уравнениям

где, как и в предыдущем параграфе,

Имеют место также концевые условия

Таким образом, рассматриваемый случай свелся к краевой задаче (16.27)-(16.29).

Общее решение первого из уравнений (16.27) имеет вид

Подчиняя его первым двум из концевых условий (16.29), находим

Поскольку разыскивается нетривиальная изогнутая форма равновесия, Отсюда следует т. е.

Рассматривая еще не использованные в соотношения, определяем прогиб

Таким образом, типичная линейная задача на собственные значения имеет собственные значения (16.30), отвечающие согласно (16.28) собственным значениям сжимающей силы — так называемым эйлеровым силам

при которых имеют место бифуркации (ветвления) решений.

Нетрудно подметить недостатки полученного здесь решения линеаризованной задачи по сравнению с решением нелинейной задачи предыдущего параграфа. Так, согласно (16.31) оно не дает никакой информации относительно амплитуды синусоиды, являющейся собственной формой выпучивания стержня. Далее, полученное решение дает физически неправдоподобную картину: искривленная форма равновесия возможна лишь при при стержень должен «возвращаться» к прямолинейной форме равновесия. Из текста предыдущего параграфа более или менее ясно, в чем тут дело. После прохождения критического значения сжимающей силы амплитуда выпучивания быстро возрастает и линеаризованные зависимости (полученные в предположении малости углов поворота) уже не описывают прогрессирующего выпучивания стержня — так называемой его закритической деформации.

Очевидно и основное преимущество линеаризованного решения — простота его получения по сравнению с нелинейным. При этом сопоставление (16.26) с (16.32) показывает, что критическое значение сжимающей силы — первая эйлерова сила — определяется точно. Последнее, очевидно, связано с тем, что в момент потери устойчивости угол поворота еще невелик и, стало быть, линеаризованные зависимости применимы.

Как и для решения предыдущего параграфа, из наличия бифуркации решения линеаризованной задачи не следует вывода, что стержень «предпочитает» изогнутую форму равновесия, т. е. потеряет устойчивость.

Отметим, что значение критической (первой эйлеровой) силы существенно зависит от вида концевых условий:

Значения коэффициента к для различных вариантов концевых условий могут быть получены так же, как и в рассмотренном выше случае.

Можно ввести критическую и первую эйлерову деформации, определяя их соотношениями

С учетом (16.26) и (16.10) получаем отсюда выражения введенных величин через гибкость

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление