Главная > Разное > Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Уравнения теплопроводности и движения тонких оболочек постоянной топщины

В § 4—7 получены соотношбния термоупругой динамики оболочек. Однако они имеют громоздкий вид, так как выведены для нетонких оболочек с произвольно изменяющимися вдоль координат толщиной и параметрами первой и второй квадратичных форм с учетом связанности полей температуры и деформаций.

Поэтому рассмотрим часто встречающийся в приложениях случай тонкой оболочки постоянной толщины с медленно изменяющимися вдоль координат геометрическими параметрами ее срединной поверхности. Эффектом связанности полей температуры и деформации пренебрегаем.

При таком подходе разрешающие соотношения существенно упрощаются, так как уравнение эволюции теплового поля в оболочке оказывается не связанным с уравнениями движения и вместо формул (1.60) — (1.64) можно принять упрощенные зависимости

предполагающие, что метрика пространства занимаемого телом оболочки, совпадает с метрикой на ее срединной поверхности.

Следовательно уравнения теплопроводности примут вид

Входящие в эти соотношения моменты компонент вектора теплового потока определяются через моменты температуры

Тепловые потоки через поверхности характеризуют теплообмен с внешней средой. Они определяются из условий

где коэффициенты теплоотдачи с поверхностей температура окружающей среды у поверхностей

Подставляя зависимости (1.121) — (1.124) в (1.120), получаем бесконечную систему уравнений относительно неизвестных моментов температуры материала оболочки. Ограничивая из

условий сходимости решения задачи размерность координатного базиса числом записываем уравнений теплопроводности.

Краевые условия на контуре поверхности определяем, произведя операции проектирования с граничными уравнениями исходной трехмерной задачи, сформулированными на граничной поверхности Так, при заданной на температуре

Если на поверхности происходит конвективный теплообмен с окружающей средой, то нужно использовать уравнение

где нормальная к поверхности координата; — температура окружающей среды у поверхности

В результате решения поставленной краевой задачи находим моменты температуры. По их значениям, используя формулу

можно вычислить значения температуры в любой точке оболочки.

Уравнения движения (1.84) тонкой оболочки постоянной толщины при использовании соотношений (1.119) также значительно упрощаются. Представленные через моменты контравариантных составляющих тензора напряжений, они принимают вид

В этих уравнениях напряжения на поверхностях и моменты объемных сил характеризуют внешнюю нагрузку, действующую на оболочку. Моменты о», составляющих тензора напряжений выражаются через моменты компонент тензора деформаций, его первого инварианта и температуры

Соотношения (1.103), (1.104) для определения моментов составляющих тензора деформаций и его первого инварианта после упрощения представим в форме

Входящий в формулы (1.128), (1.130) символ обозначает операцию ковариантного дифференцирования на поверхности Для тензора ранга, имеющего ковариантных и контравариантных индексов ковариантное дифференцирование сводится к операции

причем в правой части равенства (1.131) члены со знаком повторяются столько раз, сколько контравариантных и ковариантных индексов у тензора соответственно. На основании формулы (1.131) записываем

Подставляя зависимости (1.130) в (1.129) и затем в (1.128), с учетом (1.132) получаем уравнения движения оболочки.

Для построения краевых уравнений на контуре необходимо применить операцию проектирования к исходным граничным условиям на поверхности

В случае задания на поверхности вектора перемещений моменты его компонент определяются в виде

Если на известен тензор напряжений направление нормали к поверхности направление касательной к поверхностям то краевые условия на поставленной краевой задачи запишем как

Выражая с помощью равенств (1.129), (1.130) известные на моменты напряжений через моменты и», перемещений и температуры, получаем краевые дифференциальные уравнения для задачи движения оболочки. Решая эту задачу, находим моменты перемещений.

Для подсчета перемещений необходимо использовать формулы

На основе соотношений (1.130), (1.129) можно также вычислить моменты деформаций и напряжений, после чего с помощью зависимостей

определяем деформированное и напряженное состояния оболочки.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление