Главная > Разное > Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Моменты компонент тензора напряжений

Для того чтобы замкнуть систему разрешающих уравнений теории нетонких оболочек переменной толщины, необходимо установить зависимость между моментами компонент тензора напряжений и моментами компонент тензора деформаций

Воспользуемся законом Гука в форме

выражающим в изотропном, однородном упругом теле компоненты тензора напряжений через температуру, компоненты тензора деформаций и его первый инвариант.

В выражении коэффициенты Ламе; коэффициент линейного теплового расширения; — первый инвариант тензора деформаций, который определяется по формуле

Применив проекционный метод к равенству (1.108), получим следующее выражение для моментов компонент тензора напряжений

Поскольку, согласно (1.64), контравариантные компоненты метрического тензора равны нулю, перепишем соотношение (1.110) в виде

(см. скан)

При выводе соотношения (1.111) удержаны четыре члена в формуле (1.65). Произведя выкладки, аналогичные выполненным при выводе формул для определения моментов составляющих вектора плотности теплового потока и компонент тензора деформаций, записываем следующие зависимости моментов компонент тензора напряжений от величин и :

(см. скан)

Подставляя согласно выражению (1.61) компоненты метрического тензора в равенство (1.109) и учитывая, что имеем

Моменты первого инварианта тензора деформаций определяются моментами ) следующим образом:

Выражая с помощью зависимостей (1.93) — (1.94) моменты составляющих вектора плотности теплового потока через моменты температуры по формулам моменты компонент тензора напряжений через моменты компонент тензора деформаций и его первого инварианта, согласно равенствам моменты компонент тензора деформаций и инварианта через моменты составляющих вектора упругого смещения и подставляя

полученные выражения в соотношения (1.84), записываем основные разрешающие уравнения для величин

Система двумерных соотношений теории нетонких оболочек переменной толщины (1.84), (1. 114) эквивалентна трехмерным уравнениям термосилового равновесия элемента деформируемой среды. Точность аппроксимации полученными соотношениями искомых функций по координате зависит от размерности системы базисных функций и порядка учитываемых полиномов в разложении (1.65).

Теоремы единственности и существования, полученные И. Н. Векуа и его учениками для частных случаев теории тонких оболочек и пластин, показывают внутреннюю непротиворечивость использованного подхода, что является необходимым условием для всякой правильно построенной математической теории.

Уточненные дифференциальные уравнения теории нетонких оболочек составляют системы более высокого порядка, чем система уравнений классической теории. А это требует более точной постановки краевых условий, обеспечивающих существование и единственность решения. Их получают, применяя операции проектирования к краевым уравнениям исходной задачи.

Интегрирование системы уравнений теории оболочек И. Н. Векуа является трудновыполнимой задачей. Причем степень трудности резко возрастает с увеличением числа Однако в случае тонких оболочек можио ограничиться приближениями порядка

Приближение порядка соответствует случаю, когда напряжеиио-деформированное состояние оболочки не зависит от координаты нормальной к срединной поверхности

Приближение порядка представляет собой видоизменение классической моментной теории оболочек, свободное от внутренних противоречий, присущих классическим построениям.

В более общих случаях, когда поля напряжений изменяются вдоль координаты по сложным функциям, число выбирается из условий сходимости решения и может быть значительно больше единицы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление