Главная > Разное > Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Приведение уравнений термоупругости и двумерным зависимостям теории толстостенных оболочек

Метод расчета оболочек, основанный на непосредственном интегрировании уравнений теории упругости, связан с большими математическими трудностями. Поэтому введение упрощений в разрешающие уравнения позволяет решить ряд практически важных прикладных задач при исследовании гладких тепловых и силовых полей в тонкостенных конструкциях. Однако использование упрощающих гипотез приводит к ограничению рассматриваемых объектов системами, для которых справедливы соотношения классической теории оболочек.

Первое основное упрощающее допущение классической теории оболочек, сужающее пределы варьирования их исходных параметров, имеет геометрический характер. Оно заключается в требованиях

означающих, что либо главные кривизны и срединной поверхности являются малыми (оболочка пологая), либо мала толщина (оболочка тонкая).

Справедливость соотношений (1.69) позволяет принять, что метрика лицевых поверхпостей совпадает с метрикой срединной поверхности оболочки, а нагрузка, действующая на оболочку, прикладывается к поверхности

Согласно кинематической гипотезе, устанавливающей закон распределения деформаций по толщине, прямолинейные волокна оболочки, нормальные к срединной поверхности до деформации, прямолинейны и нормальны к поверхности в процессе деформации и не испытывают растяжений (сжатий).

Кинематическое предположение дополняется статическим: нормальными к срединной поверхности напряжениями можно пренебречь по сравнению с другими напряжениями.

В соответствии с кинематической гипотезой находится также предположение о линейном распределении температуры по толщине оболочек.

При малых возмущениях оболочки гипотезами, замыкающими основные уравнения классической теории, являются физические предположения, устанавливающие линейную связь между геометрическими, тепловыми и статическими явлениями, происходящими в оболочке.

Введение рассмотренных гипотез значительно сужает класс исследуемых оболочек и исключает из поля зрения некоторые важные механические и физические эффекты. Поэтому исследователи пытались построить более совершенные теории.

Например, И. Н. Векуа разработал общий метод [18—21], с помощью которого возможно построение различных вариантов математически корректной теории оболочек, классифицирующихся по степени порядка приближений. В основе этой теории лежат два допущения.

Первое из них опирается на теорему Вейерштрасса, согласно которой любую непрерывную в замкнутом промежутке функцию можно равномерно приблизить полиномами. Следовательно, компоненты вектора смещения и тензора напряжений приближенно можно искать в виде полиномов некоторой степени по переменной

Второе допущение ограничивает класс рассматриваемых оболочек. Исследуются тонкие пологие оболочки, для которых справедливы равенства (1.69).

Мы рассматриваем толстостенные оболочки, поэтому ограничение (1.69) опускаем.

Уравнения термосилового равновесия элемента упругой среды при наличии связи между полями температур и деформаций в произвольной системе координат имеют вид

где контравариантные составляющие вектора плотности теплового потока; температура; и — вектор упругого смещения; контравариантные компоненты тензора напряжений; базисные векторы; вектор объемной силы; коэффициенты Ламе; с — удельная объемная теплоемкость вещества среды; коэффициент линейного теплового расширения; плотность среды; Т — начальная температура; определитель метрической формы

Исходя из вида уравнений (1.70) и характера физических явлений, протекающих в оболочках, выбираем функции входящие в выражение (1.4), в виде

где полиномы Лежандра, ортогональные на отрезке :

определитель метрического тензора

Учитывая соотношение (1.4), заменяем уравнения (1.70) следующей системой двумерных равенств:

(см. скан)

На основе формулы дифференцирования интеграла по параметру

выразим моменты от производных в соотношениях (1.73) через производные моментов

(см. скан)

значения соответствующих величин на поверхности В — на поверхности

Введем моменты температуры, составляющих вектора плотности теплового потока, вектора упругого смещения и силы напряжения по формулам

(см. скан)

Используя равенства, устанавливающие связь между полиномами Лежандра [85]

(см. скан)

н учитывая, что определитель метрической формы выражается через определитель тензора а по формуле (1.61), представляем интегральные соотношения (1.75) в следующем виде:

(см. скан)

(см. скан)

Воспользовавшись правилом интегрирования по частям и формулой [85]

получим выражения для составляющих векторов плотности теплового потока, упругого смещения и силы напряжения, направленных по координате

(см. скан)

(см. скан)

Разложим вектор по ортам

где контравариантные компоненты тензора напряжений. Переходя в равенстве (1.81) к моментам, записываем

где — единичные векторы на срединной поверхности оболочки. Орты выражаются через векторы по формуле

Учитывая деривационные формулы Гаусса-Вейнгартеиа и используя соотношения (1.78), (1.80), (1.82), представляем уточненные уравнения теории иетоиких оболочек переменной толщины (1.73) в виде системы:

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

где

Полученные уточненные уравнения теории нетонких оболочек переменной толщины вытекают из законов равновесия и принципов проекционного преобразования. Их точность зависит от точности соотношения (1.64).

Поскольку операция проектирования не изменяет свойств уравнений, уравнения теплопроводности сохранили параболичность, а уравнения движения — гиперболичность.

Отказ от геометрической гипотезы о малости отношения толщины оболочки к радиусу кривизны ее срединной поверхности и учет изменения метрики по координате делают эффективными полученные уравнения для исследования толстых оболочек и оболочек с быстро изменяющимися геометрическими параметрами. Отсутствие статической, кинематической и физической гипотез о распределении напряжений, деформаций и температуры по толщине позволяет исследовать локальные возмущения,

пространение бегущих изгибных волн и явление теплового удара по поверхности оболочки.

В уравнения (1.84), кроме компонент тензора напряжений подлежащих определению, входят напряжения о, а, а, о на поверхностях определяющие внешнюю нагрузку. Их необходимо задать при постановке задачи. Величины находим из условий теплообмена на поверхности

где коэффициенты теплоотдачи с поверхностей — температура на лицевых поверхностях оболочки температура окружающей среды у поверхностей

В отличие от уравнений классической теории оболочек соотношения (1.84) позволяют определять напряженное состояние оболочки с учетом приложения нагрузки к поверхностям

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление