Главная > Разное > Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Геометрия оболочек

Выберем поверхность равноотстоящую от граничных поверхностей оболочки, в качестве основной. Уравнение поверхности задаем в форме

где радиус-вектор; криволинейные координаты точек поверхности. Выражение для квадрата элемента дуги срединной поверхности имеет вид

где ковариантные компоненты основного метрического тензора на срединной поверхности определяются соотношением

Если декартовы координаты точки на поверхности то выражение для коэффициентов первой квадратичной формы примет вид

Располагая величинами можно подсчитать контравариантные компоненты метрического тензора

где определитель метрического тензора

Смешанные составляющие метрического тензора

Основные векторы направлены по касательным к координатным линиям срединной поверхности оболочки. Векторы, сопряженные основным, равны

Элемент площади срединной поверхности оболочки выражается через компоненты метрического тензора следующим образом:

Единичный вектор нормали к поверхности находится по формуле

из которой следуют равенства

Форма срединной поверхности и ее кривизны определяются параметрами второй квадратичной формы

где

Величины являются ковариантными компонентами некоторого тензора второго ранга, смешанные составляющие которого

Символы Крнстоффеля первого рода на срединной поверхности имеют вид

Поверхностные символы Кристоффеля второго рода выражаются через символы Кристоффеля первого рода

Зная величины можно построить производные от базисных векторов

Исходя из соотношений (1.52), (1.54), получаем зависимости Гаусса-Кодацци

где тензор кривизны Римана для поверхности. Если даны две квадратичные формы

причем первая из них существенно положительна а коэффициенты второй удовлетворяют трем зависимостям Гаусса-Кодацци (1.55) - (1.56), то, согласно основной теореме, доказываемой в теории поверхностей, этим с точностью до положения в пространстве определяется поверхность для которой выражения (1.57) служат первой и второй квадратичными формами.

Толщину оболочки измеряем вдоль нормали к срединной поверхности. В дальнейшем при выводе уравнений теории оболочек ограничения на величину не накладываются.

Положение любой точки оболочки определяется заданием радиус-вектора

который на граничных поверхностях принимает значения

Метрика пространства занимаемого телом оболочки, выражается через метрику срединной поверхности и коэффициенты второй квадратичной формы

где — определитель метрической формы

Контравариантные составляющие метрического тензора определяются формулами

Здесь — алгебраическое дополнение, соответствующее члену фундаментальной матрицы

Разлагая величины ряд Тейлора по координате получаем

Число членов, удерживаемых в разложении (1.64), зависит от толщины оболочки и кривизны ее срединной поверхности.

Элементарные площадки на поверхностях соответственно равны

Элемент площади поверхности

Элемент объема тела оболочки определяется выражением

Приведенные соотношения, используемые при выводе уточненных уравнений теории нетонких оболочек переменной толщины, позволяют построить разрешающие соотношения в произвольной системе криволинейных координат

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление