Главная > Разное > Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 5. ОРГАНИЗАЦИЯ ПРОГРАММЫ РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ НА ЭВМ

§ 1. Численное решение задач статики и устойчивости оболочек

Ввиду сложности уравнений, описывающих деформацию нетонких оболочек переменной толщины, затрудняющих их аналитическое исследование, поставленные задачи следует решать применяя численные методы, в частности метод конечных разностей. Целесообразно использовать совместно метод конечных разностей и аппарат тензорного анализа, позволяющие описывать в общем виде геометрию деформируемой поверхности. Это позволяет произвольно выбирать очертание разностной сетки, ее густоту, учитывать ее изменение в процессе деформации.

При дискретизации континуальной задачи теории оболочек методом конечных разностей дифференциальные уравнения сводятся к системам алгебраических уравнений, где значения сеточных функций в узлах конечно-разностной сетки неизвестны. Предельная для функция при стремлении к нулю длины сторон ячеек сетки будет решением рассматриваемой задачи, если разностный оператор аппроксимирует дифференциальные уравнения задачи. Аппроксимация континуальной задачи конечномерной моделью, определяемой приближенным решением неоднозначна и зависит от способа представления частных производных дифференциального оператора в точке через значения аппроксимирующей функции в соседних точках разностной сетки.

При замене оператора конечно-разностным выражением используются представления производных входящих в в виде обыкновенных центральных разностей [83]:

(см. скан)

где погрешность аппроксимации.

Применение конечно-разностных выражений (5.1) для аппроксимации оператора в случае гладких решений дает вполне приемлемую точность. Чтобы повысить точность решения при исследовании функций, обладающих высокими градиентами, необходимо повторять процесс вычислений с более мелким шагом сетки Исследуя локальные возмущения, такая ситуация возникает при расчете оболочек с быстро изменяющимися геометрическими параметрами и толщиной.

В некоторых случаях вследствие медленной сходимости метода при уменьшении объем вычислительной работы увеличивается намного быстрее точности.

Для улучшения конечно-разностной аппроксимации дифференциальных операторов в работе используются аналоги третьего порядка точности, определяемые следующими выражениями [83]:

(см. скан)

Заменяя дифференциальные соотношения теории оболочек разностными выражениями во внутренних узлах сетки и используя граничные уравнения для определения законтурных значений аппроксимируемых функций, получаем систему линейных алгебраических уравнений, решение которой представляет искомые функции в отдельных точках исследуемой области.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление