Главная > Разное > Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Выбор базисных функций

Из проекционной трактовки вывода уравнений теории оболочек на основе уравнений трехмерной теории упругости следует, что вид, свойства, устойчивость приближенного решения и сходимость его к точному обусловливаются надлежащим выбором координатных вектор-функций

Наибольшая простота разрешающих уравнений достигается при выборе в качестве ортонормированной в системы. Часто встречающиеся ортогональные в системы тригонометрических функций и полиномов Лежандра не являются ортогональными в Целесообразнее применять полиномы Лежандра, так как подсистема полной тригонометрической системы не принадлежит пространству Можно построить систему полиномов ортогональных с весом используя формулы Кристоффеля [85]. Для

система полиномов имеет вид

где главные кривизны; полиномы Лежандра, ортогональные с весом 1 на отрезке Полиномы полиномы от степени так как определитель делится на без остатка. Если в качестве координатных функций выбрать то уравнения теории оболочек будут наиболее простыми. В этом случае система уравнений динамики имеет нормальный вид, т. е. в каждое уравнение под знаком производной по времени входит только одна неизвестная функция

Применение неортогональных систем координатных функций приводит к более сложным системам разрешающих уравнений со сложными граничными условиями.

Исследованию свойств уравнений проекционного метода (в том числе и вопросам устойчивости и сходимости) поснящены фундаментальные работы С. Г. Михлииа [69] и М. А. Красносельского, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко, Я. Б. Рутицкого, В. Я. Стеценко [79].

Применение современных ЭВМ позноляет строить приближения с большим числом координатных функций. С увеличением их размерности процесс счета может оказаться неустойчивым, что часто обусловлено приближенным вычислением интегралов от известных функций при формировании системы уравнений проекционного метода и граничных условий или ошибками численного решения соответствующей краевой задачи.

При произвольном выборе системы координатных функций с увеличением приближенные решения могут не стремиться к определенному пределу, так как малые погрешности приводят к значительному искажению решения. Такая ситуация возникает, когда с увеличением координатные функции мало различимы в смысле метрики в т. е. базисные векторы почти линейно зависимые. В этом случае система (1.26) — (1.28) оказывается близкой к вырожденной, а процесс решения задачи неустойчив. Ортонормированные системы функций — пример базисов, векторы которых при любом существенно различны. Известны и косоугольные базисы, обладающие отмеченным свойством. Такие системы, по терминологии Михлииа [69], называют почти ортонормированными. Проекционный метод устойчив в том случае, если координатная система почти оргонормирована в

Системой координатных функций обеспечивающей устойчивость уравнений термоупругого движения оболочек, является система полиномов Лежандра. Решения задачи при и при полностью совпадают, если вычисления выполняются точно. Применяя численные методы решения, видим существенную разницу между этими двумя задачами. Так как система степеней неминимальна, то соответствующие разрешающие уравнения имеют неустойчивое решение, связанное с тем, что матрица коэффициентов плохо обусловлена.

Поэтому, например, нельзя считать удовлетворительной теорию изгиба плит, построенную Пуассоном и Коши. Поскольку они применили разложение компонент тензора напряжений по возрастающим степеням координаты то может не быть сходимости на всем интервале изменения координаты

Более сложный для исследования вопрос о сходимости приближенного решения, которое получаем, применяя проекционный метод к точному решению трехмерной задачи. Численный анализ ограничивается теми немногими случаями, когда возможны точные решения. Общие соображения по этому поводу

основываются на понятии сходного оператора. Положительно определенные и самосопряженные в гильбертовом пространстве операторы называют сходными, если

Для сходимости приближенного решения, получаемого проекционным методом, к точному в качестве координатной системы необходимо выбирать собственные функции оператора, сходного с В. Как известно [85], все ортогональные полиномы являются собственными функциями сингулярных задач Штурма-Лиувилля для дифференциальных уравнений второго порядка. Роль однородных граничных условий в этом случае играют условия ограниченности собственных функций в точках сингулярности. Поэтому всегда можно подобрать соответствующую систему ортогональных с заданным весом полиномов, принадлежащую Если оператор, собственными функциями которого является эта система, сходен с оператором В, то соответствующие приближенные решения уравнений теории оболочек сходятся к точному решению.

Таким образом, система нестационарных уравнений термоупругости оболочек будет наиболее простой, устойчивой и сходящейся к исходным трехмерным уравнениям упругой среды, если в качестве базисной системы использовать полиномы Лежандра.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление