Главная > Разное > Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Постановка задачи об упругопластическом равновесии оболочек

Влияние геометрической нелинейности на потерю устойчивости оболочки наиболее характерно при действии нагрузки, направленной к центрам ее кривизн. Тогда переход от неустойчивого к устойчивому положению сопровождается явлением прощелкивания, вызванным большой разностью энергетических уровней в этих состояниях и образованием вмятин.

При действии на оболочку внутреннего давления устойчивость силового поля в бодьшей мере определяется физической нелинейностью. Смена устойчивой ветви на неустойчивую в таких

системах происходит с малым изменением накопленной энергии и сопровождается образованием выпучин. В процессе развития деформаций оболочки ее перемещения приобретают большие приращения, и на этом этапе возникает необходимость учета геометрической нелинейности.

Исследовать упругопластическую неустойчивость оболочек удобно при помощи метода сведения исходной краевой задачи к задаче Коши, описанного в § 1. Рассмотрим упругопластическое равновесие тонких оболочек, для которых достаточно ограничиться в соотношениях (1.84) размерностью базиса В этом случае уравнения равновесия имеют вид:

где моменты нулевого порядка компонент тензора напряжений.

Переходя в уравнениях (4.36) от моментов к «физическим» компонентам тензора напряжений, выполняя операции ковариантного дифференцирования и учитывая, что для осесимметричных оболочек при получаем

Здесь считаем, что координатная линия направлена вдоль образующей срединной поверхности.

Материал оболочки — упругоидеальнопластический. Для описания его поведения воспользуемся соотношениями теории пластического течения [53]. Полные приращения составляющих деформации

Приращения составляющих упругой деформации связаны с приращениями составляющих напряжений законом Гука

где модуль упругости при сдвиге; коэффициент Пуассона.

Приращенйя компонент пластической деформации пропорциональны девиатору напряжений

В равенстве положительный бесконечно малый скалярный множитель, определяемый из условия текучести или упрочнения.

Выберем в качестве дополнительного уравнения, определяющего множитель в данной точке тела, условие текучести Мизеса

где интенсивность напряжений, вычисляемая по формуле

инварианты тензора напряжений, которые определяются следующим образом:

Таким образом, к соотношению (4.37) добавляется уравнение

где константа (предел текучести при сдвиге), замыкающее систему разрешающих уравнений.

Линеаризация соотношений (4.37), (4.44) приводит к следующим зависимостям, содержащим накопленные величины геометрических параметров, компонент тензора напряжений, толщины и их приращения

Здесь величины, не помеченные звездочкой, обозначают соответствующие приращения за один шаг вычислительного процесса.

Уравнения (4.45) получены с учетом изменения толщины оболочки в процессе деформирования

Относительное удлинение нормали иайдеио из условия несжимаемости материала в пластическом состоянии

Определяющее уравнение, описывающее упругопластическое поведение материала оболочки, получаем, преобразуя выражение (4.38) к виду

и разрешая уравнение (4.48) относительно приращений компонент тензора напряжений

где первый инвариант тензора деформаций. В случае разгрузки зависимость (4.49) переходит в закон Гука.

Для определения конечных деформаций оболочки используем тензор деформаций Грнна, компоненты которого определяются через составляющие вектора перемещений согласно формуле

Приведенные соотношения позволяют исследовать упругопластическое равновесие оболочек переменной толщины. Применение метода продолжения решения по параметру дает возможность рассматривать бифуркацию упругопластического равновесия и закритического поведения оболочек.

При исследовании больших деформаций среды используются два подхода — Эйлера и Лагранжа. Определяющее уравнение теории пластичности содержит тензоры напряжений и приращений деформаций и описывает жесткоидеальнопластическое поведение тела. Если необходимо учесть влияние упругости, это уравнение предполагают применимым к пластической области скоростей деформации, к которой для вычисления общей скорости деформации добавляют упругую область. Скорость упругой деформации рассматривают как функцию скорости изменения напряжений.

Скорость изменения напряжений должна удовлетворять следующему требованию: если континуум под напряжением совершает движение как твердое тело и поле напряжений, отнесенное к координатной системе, участвующей в этом движении, не зависит от времени, то скорость изменения напряжений тождественно обращается в нуль. Поскольку такое ограничение определяет скорость изменения напряжений не единственным образом, то существует несколько определений скорости изменения напряжений [78].

Тензор второго ранга всегда можно разложить на симметричную и антисимметричную части

Если поле скоростей континуума, то скорость деформации определяется как симметричная часть тензора а скорость вращения — как его антисимметричная часть

Скорость изменения характерной компоненты напряжения в точке континуума определяется субстанциональной производной

если тензор напряжений отнесен к фиксированной системе координат. Здесь до обозначает дифференцирование по времени

Если среда вместе с полем напряжений совершает отличное от поступательного движение как твердое тело, не обращается в нуль тождественно, и выражение (4.52) нельзя использовать в качестве определения скорости изменения напряжений для определяющих уравнений. Приемлемое определение получаем следующим образом.

Пусть соседние частицы, такие, что линии образуют систему главных осей скоростей деформации в точке в момент Обозначим положения этих частиц в момент через Поскольку скорости сдвига для главных осей скоростей деформации равны нулю, то линии остаются ортогональными. Скорость изменения напряжений можно определить так, что она будет обращаться в нуль, если тензор напряжений в точке имеет те же компоненты по отношению к осям в момент что и тензор напряжений в точке по отношению к осям в момент

Пусть единичный вектор направления единичный вектор направления как оси имеют скорость вращения то

Субстанциональная производная от компоненты тензора напряжений имеющей в осях вид равна

Если субстанциональные производные всех этих компонент напряжений обращаются в нуль, то должно обращаться в нуль и выражение в скобках в соотношении (4.54). Следовательно, оно дает подходящее определение скорости изменения напряжений. Учитывая симметрию тензора напряжений и антисимметрию тензора скоростей вращения, представим определение скорости изменения напряжений в виде

Таким образом, применение подхода Эйлера при исследовании конечных деформаций связано с фиксированной системой координат ) и необходимостью определения скорости изменения напряжений по Яуманну (4.55).

В случае применения способа Лагранжа используется «вмороженная» система координат, и при построении частной производной по времени надобность в конвективных членах отпадает.

Поэтому введение тензора конечных деформаций (4.50), применение подхода Лагранжа и учет изменения метрики пространства в процессе трансформирования поверхности оболочки позволяют описать на основе соотношений (4.49) ее большие формоизменения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление