Главная > Разное > Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Построение нелинейных и линеаризированных уравнений теории нетонких оболочек

Исследование устойчивости оболочек при больших перемещениях связано с интегрированием системы нелинейных дифференциальных уравнений. А поскольку их нелинейные члены характеризуют изменение геометрии поверхности деформируемой оболочки, то применение шагового метода позволяет описать большие формоизмерения оболочки на основе теории малых перемещений и деформаций. С помощью этого метода можно определять как совокупность критических нагрузок, так и соответствующую ей последовательность форм потери устойчивости.

В процессе деформирования оболочки компоненты метрического тензора и коэффициенты второй квадратичной формы изменяются согласно формулам [64]

Здесь

где

Если, согласно соотношениям (4.24) и (4.25), выразить уравнения равновесия через составляющие вектора перемещений, то получим систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Линеаризация этих уравнений в окрестностях дискретных значений параметра нагрузки X позволяет с помощью алгоритма (4.3) найти последовательность соответствующих состояний системы.

Допустим, что параметр X представляет собой ступенчатую функцию изменяющуюся на на этапе загружения.

Вследствие приложения нагрузки оболочка переместится в новое положение, отличающееся от недеформированного состояния на вектор Так как после деформирования оболочки ее метрика изменяется согласно формулам (4.24), (4.25), при подстановке найденных моментов компонент тензора напряжений в уравнения (1.84) с измененной метрикой

оказывается, что фактически оболочка воспринимает несколько иную нагрузку отличающуюся от на

Для определения деформированного состояния оболочки, вызванного истинной нагрузкой необходимо догрузить ее силами Если значения выбраны такими, что метрика оболочки вследствие ее догрузки силами изменилась незначительно, то можно считать, что на втором этапе нагружения метрика оболочки описывается компонентами в оболочке возникают внутренние напряжения а и она нагружена внешними силами

Продолжая процесс аналогично, возможно исследование деформирования оболочки вплоть до потери устойчивости, рассмотрение бифуркации равновесия и закритического поведения.

Тензорное представление уравнений равновесия и применение подхода Лагранжа к описанию деформации дает возможность использовать шаговый метод с включением в уравнения параметра нагрузки для исследования больших деформаций оболочки.

Вследствие того, что на каждом шаге процесса (4.10) изменение метрики срединной поверхности оболочки невелико, при построении дифференциала Фреше пренебрегаем производной от метрического тензора по параметру Тогда, вводя в рассмотрение накопленные значения геометрических параметров и моментов компонент тензора напряжений, представим статический аналог левой части равенства (4.10) в следующем виде:

(см. скан)

(см. скан)

где

(см. скан)

Соотношения, выражающие приращения компонент тензора напряжений через приращения компонент тензора деформаций, инварианта тензора деформаций и накопленные значения геометрических параметров, имеют вид

(см. скан)

Приращения инвариаита тензора деформаций выражаются через приращения компонент тензора деформаций по формуле

(см. скан)

Выражения, связывающие приращения компонент тензора деформаций с приращениями составляющих вектора перемещений, имеют вид

(см. скан)

В выражениях (4.28) — (4.35) звездочкой отмечены значения геометрических параметров и моментов компонент тензора напряжений, накопленные за весь процесс деформации. Величины без звездочек обозначают соответствующие приращения. При выводе зависимостей (4.28) — (4.35) считали, что толщина оболочки остается неизменной в процессе деформации.

Полученные соотношения (4.28) — (4.35) позволяют строить шаговый алгоритм (4.3) решения нелинейных задач теории оболочек.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление