Главная > Разное > Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Связь особых случаев решений нелинейных уравнений с явлениями устойчивости и неустойчивости состояний

Во всех точках решения задачи (4.1), удовлетворяющего условиям корректности, рассмотренным в предыдущем параграфе, оператор обратим и для любого приращения параметра возмущения можно найти приращение искомого вектора. В окрестностях точек вырождения оператора малым приращениям параметра X соответствуют большие изменения решения поэтому задача (4.3) оказывается поставленной некорректно и для продолжения решения ее необходимо регуляризировать. В задачах механики деформируемого тела такие точки характеризуют критические состояния системы.

Условия существования поставленной в § 1 задачи Коши совпадают с условиями существования неявной функции. Согласно теореме о единственности малого решения системы (4.11) в окрестности состояния ранг матрицы Якоби должен быть равен [13].

Рассмотрим особые случаи, которые могут возникнуть при реализации решения. Пусть в окрестности некоторой точки условие (4.4) не выполняется и якобиан обращается в нуль, т. е.

При этом система уравнений (4.3) становится несовместной, ее правая часть обращается в и процесс невозможно продолжить в окрестности точки Для того, чтобы в этом случае иайти необходимо ввести новый параметр, например и построить решение в достаточно малой окрестности точки Поэтому представим формулу (4.3) в виде

В соответствии с условием (4.20) в точке система (4.21) вырождается и в ней возникают линейно зависимые уравнения. Для построения траектории в такой точке необходимо использовать дополнительную информацию относительно решения. Информацией, носящей количественный характер и позволяющей сузить класс возможных решений системы (4.21), являются сведения о решении задачи в окрестности особой точки.

Выберем в качестве нового ведущего параметра какое-либо искомое значение из группы неизвестных, определяемых линейно зависимыми соотношениями и дадим ему приращение Тогда, воспользовавшись системой (4.21), можно найти значения приращений вектора А и параметра соответствующие приращению

Изменение структуры левой части системы уравнений (4.22) по сравнению с первоначальной системой (4.21) приводит к ее регуляризации. Роль регуляризирующего параметра в этом случае играет величина а совокупность решений для различных значений в окрестности особой точки представляющая дополнительную информацию о задаче, составляет регуляризирующее семейство решений.

Пройдя окрестность точки снова возвращаемся к решению задачи (4.21). Здесь необходимо учитывать, что при прохождении через стационарную точку второе слагаемое в правой части зависимости (4.3) в силу выполнения условия (4.20) может поменять знак. В этом случае процесс (4.3) начинает расходиться и для его продолжения необходимо в точке и далее приращение параметра X брать отрицательным.

Предельное значение параметра X, при котором якобиан меняет знак, является бифуркационным. Бифуркационное значение параметра характеризует верхнюю критическую нагрузку, если в точке положительный знак перед меняется на отрицательный. Переход от минуса к плюсу соответствует нижней критической нагрузке.. При равновесие

деформируемой среды устойчиво. Отрицательное значение якобиана определяет неустойчивое состояние системы, так как на этом участке решения уменьшению параметра возмущения соответствует увеличение отклонения х системы от исходного состояния.

Если при прохождении стационарной точки якобиан остается положительным, то в ее окрестности система увеличивает свою деформативность, сохраняя устойчивость равновесия.

Термосиловое возмущение упрочняющейся среды при взаимодействии полей температуры и деформаций может сопровождаться обращением в некоторой точке якобиана в бесконечность, т. е.

Как и в предыдущем случае, изменение знака величины после прохождения точки свидетельствует о переходе системы на неустойчивую ветвь решения. На практике это явление известно как эффект обратного отскока.

Если в окрестности точки якобиан остается положительным, то среда в этой области обладает высокой жесткостью и ее равновесие устойчиво. При изотермическом нагружении среды, согласно постулату Друккера [74], точка не имеет места.

В нижней бифуркационной точке возможны переходы с неустойчивой ветви на правую и левую устойчивые ветви Правая ветвь реализуется выбором положительных приращений параметров Отрицательные приращеиия этих величин преобразуют в точку возврата и выводят процесс. на левую ветвь решения.

Процесс (4.3) можно использовать также для решения нелинейной системы (4.10) с негладкими функциями Такая задача возникает при исследовании деформации пластических сред с включающимися и выключающимися связями. Разрывность матрицы обусловливает возможность смены знака ее детерминанта (и вместе с тем состояний устойчивости и неустойчивости равновесия) скачком, без перехода через стационарную точку

Заметим, что в этом случае методы, вытекающие из теории бифуркации равновесий Пуанкаре и основанные на удовлетворении равенству (4.20), оказываются непригодными.

Если дефект линеаризированной системы уравнений равен единице и правая часть несовместна с левой, то переход через особую точку осуществляется сменой ведущего параметра. В общем случае решение этого уравнения в особой точке может оказаться ветвящимся. Для продолжения решения необходимо по методам теории ветвления найти все ветви и продолжить решение по каждой из них.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление