Главная > Разное > Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. О некорректности задач математической физики

При решении нелинейного уравнения (4.1) методом продолжения по параметру к (4.3) приходится использовать точки в которых оператор не имеет обратного. В этих точках задача решения линейного уравнения (4.3) оказывается поставленной некорректно, так как малым изменениям вектора соответствуют большие изменения искомого элемента

Понятие корректности, введенное французским математиком Адамаром, играет важную роль при исследовании задач математической физики. Дадим одно из возможных определений корректности, удобное для наших целей.

Пусть оператор, определенный на непустом множестве некоторого метрического пространства и действующий в метрическом пространстве Рассмотрим уравнение

Задача (4.13) поставлена корректно (по Адамару), если выполнены три следующих условия:

1. Для всякого элемента можно указать элемент такой, что (условие разрешимости).

2. Заданием элемента решение задачи (4.13) определяется однозначно, т. е. если элементы таковы, что то (условие единственности).

3. Если то где решение уравнения (4.13), соответствующее правой части (условие устойчивости).

Можно сказать, что понятие корректности поставленной задачи (4.13) сводится к существованию оператора определенного и непрерывного на всем

Наиболее часто в математической физике рассматриваются линейиые задачи. В этом случае пространства Банаха, А — линейный оператор. Пространства Банаха в конкретных задачах совпадают с одним из известных пространств: элементы которых есть функции в некотором -мерном пространстве независимых переменных или на какой-либо части пространства независимых переменных.

Первое требование корректности обусловлено тем, чтобы задача не была переопределена и среди условий не было бы лишних.

Второе требование исключает неоднозначность и неопределенность в решении.

Третье условие корректности, или требование непрерывности оператора В, обусловливает возможность задания правой части с некоторой погрешностью.

Подробное изложение постановки и исследование ряда некорректных задач содержится в монографии [87].

Один из возможных подходов к исследованию некорректных задач состоит в том, что изменяется понятие решения задачи.

Пусть кроме пространств и оператора А задано некоторое множество Элемент и, определяемый соотношением

называется квазирешением уравнения (4.13).

Отметим, что задача нахождения квазирешения является задачей нелинейного программирования, и из теорем нелинейного программирования следуют соответствующие теоремы о корректности задач нахождения квазирешения.

Понятие квазирешення было введено в работе [44]. Хотя область применимости этого понятия совпадает с областью применимости понятия корректности по А. Н. Тихонову, оно отличается большой ясностью и простотой. Наиболее общий подход к некорректным задачам изложен в работах А. Н. Тихонова.

Решение задач, некорректных в классическом смысле, становится корректным, если на множество допустимых решений наложить некоторые дополнительные ограничения. Поэтому задачи такого типа получили название условно корректных.

Для построения решения условно корректных задач необходимо ввести понятие регуляризирующего семейства. Суть его состоит в сопоставлении условно корректной задаче семейства классически корректных задач (регуляризирующегосемейства), зависящего от параметра, причем при стремлении параметра к некоторому пределу последовательности решений классически корректных задач должны стремиться к решению условно корректной задачи.

Назовем регуляризатором для уравнения (4.13) всякое однопараметрическое семейство операторов с областью определения и областью значений 0, удовлетворяющее следующим условиям [87]:

1) для любого оператор определен и непрерывен на всем

2) для любого

Задачу решения (4.13) считаем регуляризируемой, если для (4.13) существует хотя бы один регуляризатор.

Регуляризатор дает возможность построения решения с гарантированной степенью точности по приближенной правой части. Действительно, пусть правая часть (4.13) с погрешностью т. е. Положим

и оценим значение

В силу неравенства треугольника

имеем

где функция, характеризующая скорость сходимости модуль непрерывности оператора в точке

Функции при фиксированном непрерывны, монотонны и

Подставляя (4.17) в (4.16) и полагая х равным корню уравнения

где функция, обратная к функции получаем

Очевидно, что корень уравнения (4.18), а следовательно, и правая часть в неравенстве (4.19), стремится к нулю при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление