Главная > Разное > Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК

§ 1. Метод решения нелинейных уравнений механики деформируемой среды

При анализе устойчивости состояния равновесия механической системы обычно стараются выяснить пределы измерения параметров нагрузки, при которых данная система имеет единственную форму равновесия. Эйлер, исследуя продольный изгиб стержня, указал путь отыскания этих пределов на основе перехода к задаче Штурма-Лиувилля.

Однако попытки использовать линеаризацию для решения задач устойчивости оболочек часто оказываются неудачными, так как обычный принцип линеаризации дает искаженное представление о критических нагрузках и формах. Оказалось, что его следует использовать, линеаризируя задачу в окрестности заранее неизвестного решения или же вообще отказаться от линеаризации и перейти к непосредственному глобальному исследованию нелинейных уравнений, описывающих деформацию оболочки. Так как эти соотношения представляют собой сложную систему уравнений в частных производных, содержащую параметр нагрузки X, проблема сводится к исследованию спектра некоторой нелинейной краевой задачи.

Как правило, это исследование не удается провести строго. Существенные трудности испытываются и при попытке разрешения этой проблемы приближенными методами. Это вызвано тем, что срединная поверхность тонкой оболочки при потере устойчивости принимает форму, которая имеет участки плавного и участки быстрого изменения рельефа. А поскольку в этом случае форму срединной поверхности очень трудно приближать простыми аппроксимирующими функциями, то задача усложняется. Трудности усугубляются еще последовательным изменением формы деформируемой поверхности при развитии процесса иагружения, что приводит к необходимости исследования оболочки как системы с большим числом степеней свободы.

Задачу можно решить путем перехода к задаче Коши и совместного использования методов тензорного анализа и конечных разностей.

Метод решения нелинейного операторного уравнения

где дифференцируемый по Фреше оператор; параметр, характеризующий возмущение системы; вектор внешних возмущений, основывается на замене оператора в окрестности состояния обобщенным выражением Тейлора

и продолжении решения по параметру

Располагая элементом и значением и удерживая в разложении (4.2) определенное число членов, можно найти элемент соответствующий значению При формула, определяющая имеет вид

Таким образом, выражение (4.3) и начальное равенство описывают последовательность операций, приводящую к элементу приближенно удовлетворяющему уравнению (4.1) при Поскольку каждый этап процесса (4.3) представляет собой один шаг метода Ньютона-Канторовича, то для его сходимости достаточно выполнять условия, вытекающие из условий сходимости последнего алгоритма [52]:

1) для элемента операция имеет обратную и известна оценка для ее нормы

2) элемент приближенно удовлетворяет уравнению (4.1), причем

3) вторая производная ограничена

4) постоянные удовлетворяют неравенству

Условия сходимости (4.4) — (4.7) являются одновременно и достаточными условиями существования решения.

Если в формуле (4.2) принять то получим более точное выражение для

Увеличение числа в разложении (4.2) приводит к соотношениям, обладающим еще более высокой скоростью сходимости.

Учитывая в выражении (4.8)

алгоритм (4.8) можно представить как метод секущих.

Поскольку при реализации алгоритма (4.3) вместо построения оператора можно решать систему линеаризированных уравнений, то формулу (4.3) преобразуем к виду

В связи с тем, что аналитическое решение поставленной нелинейной задачи теории оболочек невозможно, используем численные методы. Тогда операторное уравнение (4.1) сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений

а производная по Фреше к матрице Якоби

При такой постановке задачи реализация процедуры (4.3) заключается в обращении матрицы А.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление