Главная > Разное > Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Решение задач динамической термоупругости для пластин

Рассмотрим пластину постоянной толщины с независящими от температуры термомеханическими константами. Срединная плоскость пластины ограничена прямоугольным контуром Принимаем, что при температура окружающей пластину среды изменется скачком от нуля до некоторого конечного значения и затем остается постоянной при

Исследуем низкочастотные колебания пластинки без учета волновых процессов. Тогда в уравнениях движения можно ограничиться одним полиномом и свести их к классическому уравнению динамики пластины с разрешающей функцией прогиба В отличие от ранее принятого обозначения толщины оболочки толщину пластинки обозначим

Нестационарное тепловое поле пластинки изучаем в уточненной постановке. При отсутствии внутренних тепловых источников оно описывается уравнением

Искомая функция при на границе удовлетворяет одному из трех уравнений

На поверхностях выполняются условия конвективного теплообмена

При задано начальное распределение температуры

В формулах (3.6) — (3.9) приняты обозначения: координата, направленная вдоль контурной линии; внешняя нормаль к торцевой поверхности пластины; коэффициенты теплоотдачи с боковых и торцевых поверхностей соответственно.

Функция прогибов удовлетворяет двумерному уравнению

где

Проекционный метод позволяет свести трехмерную задачу теплопроводности к двумерной. Как отмечено в § 2 главы 1, вид и свойства двумерных уравнений теплопроводности пластин зависят от выбора системы координатных функций. К наиболее простым относятся алгебраические полиномы. Произвольная линейно независимая система алгебраических полиномов является косоугольным базисом в конечномерном пространстве, на которое проектируется исходное гильбертово пространство.

Рис. 3.9. Изменение во времени температуры при тепловом ударе по поверхности пластины.

Использование в процедуре проекционного метода косоугольных систем приводит к двумерным уравнениям теплопроводности, обладающим двумя недостатками: коэффициенты этих уравнений зависят от порядка приближения и решение их неустойчиво.

Для подтверждения этих положений составлены три варианта разрешающих уравнений теплопроводности, отличающиеся выбором базисных функций и неизвестных. На рис. 3.9 показано изменение во времени температуры в центральной точке поверхности пластины при решении задачи о тепловом ударе, сформулированной относительно коэффициентов разложения температурной функции в ряд по нормированным полиномам Лежандра (рис. 3.9, а)

по степеням координаты (рис.

и относительно моментов температурной функции по системе степеней

Из приведенных графиков видно, что в зависимости от порядка приближения решение задачи теплопроводности пластины в степенных моментах неустойчиво.

Применяя процедуру проекционного метода с нормированными полиномами Лежандра качестве координатных функций, получаем систему двумерных разрешающих уравнений связанной динамической термоупругости для пластин: при четных

(см. скан)

при нечетных

(см. скан)

Начальные условия для функций имеют вид

В начальный момент времени должны быть также заданы значения функции и ее первой производйой по времени в любой точке срединной плоскости пластины

На границе срединной плоскости функции удовлетворяют одному из уравнений

Для функции задаются следующие граничные условия: при жестком защемлении

при шарнирном опирании

для неопертого края

где усилия при

Для дискретной аппроксимации задачи (3.15) — (3.22) применяются явные разностные схемы. Составлена программа, реализующая вычислительный процесс на ЭВМ БЭСМ-6.

В связи с тем, что обычно наиболее интересными оказываются термомехаиические процессы, вызванные нестационарными тепловыми полями, рассмотрим воздействия на пластинку, приводящие к такого типа полям. Считаем, что источником энергии в наших задачах является тепло среды, омывающей тонкостенное тело, поэтому нестационарный характер его теплового поля, в первую очередь, определяется изменением во времени температуры внешней среды. В качестве наиболее характерных тепловых воздействий рассматриваем следующие:

1. Тепловой удар по поверхности пластины, когда температура омывающей среды в начальный момент времени изменяется скачком от нуля до некоторого значения, а затем остается постоянной. Формула изменения этой температуры по временной координате имеет вид

где функция Хевисайда.

2. Тепловой импульс продолжительностью

Рис. 3.10. Изменение во времени коэффициентов разложения температуры по толщине нластнны.

В этом случае температура среды изменяется по закону

3. Линейное изменение температуры омывающей среды в соответствии с формулой

В рассматриваемых примерах колебания температуры принимаем в пределах, обеспечивающих постоянство теплофизических констант.

Исследуем динамический эффект в общем процессе деформирования и учитываем нелинейность распределения температуры по толщине пластины. Ниже приводим результаты решения задач по разработанной методике.

Материал пластины — алюминий со следующими теплофизическими и упругими константами:

На рис. 3.10 показано изменение во времени коэффициентов разложения температуры по толщине пластины в ряд по полиномам Лежандра при Температура окружающей

среды изменяется скачком от 0° до 100° и в дальнейшем остается постоянной. Размеры пластины в плане

На рис. 3.11 представлены графики изменения функции во времени при тепловом ударе по полосе поверхности пластины толщиной

Рис. 3.11. Графики изменения функций во времени при тепловом ударе по полосе ±0,05 и поверхности пластины.

На рис. 3.12 показано поведение функций при импульсивном изменении во времени температуры омывающей среды

Графики свидетельствуют о том, что при нестационарном изменении теплового поля пластины вклад нелинейных членов в распределение температуры по толщине значителен даже для тонких пластин. Влияние этих членов возрастает с увеличением толщины и при локализации тепловых источников.

Пренебрежение нелинейностью температурного поля по толщине пластины существенно искажает результаты решения уравнений движения. На рис. 3.13 изображены графики движения центральной точки пластины (случай цилиндрического изгиба, полученные решением задачи динамической термоупругости при различных На рис. 3.14 представлены аналогичные результаты для прямоугольной пластины толщиной Предположение о линейном распределении температуры по толщине существенно изменяет величину прогиба и амплитуду колебаний. Расхождение результатов заметно проявляется в течение переходного периода. Учет первого нелинейного члена приводит к практически точным результатам.

При выяснении роли динамического эффекта в общей картине напряженно-деформированного состояния пластин большое значение имеет скорость изменения температуры окружающей среды. На рис. 3.15 показаны кривые динамического прогиба центрального сечения тонкой полосы шириной при варьировании времени изменения температуры окружающей среды. Толщина полосы При малом времени с динамический эффект оказался значительным (кривая 1). С увеличением до он существенно уменьшился и при с оказался практически равным нулю.

Рис. 3.12. Поведение функций при импульсивном изменении во времени температуры

В последнем случае используемая методика дает решение квазистатической задачи.

При исследовании нестационарных термоупругих явлений представляет интерес изучение термонапряженного состояния при импульсивном изменении температуры окружающей среды с различной продолжительностью теплового импульса. На рис. представлены результаты исследования движения пластины толщиной Их анализ показывает, что колебания, вызванные тепловым ударом (начало импульса), взаимодействуют с колебаниями, вызванными обратным тепловым ударом (конец импульса). При совпадении фаз этих колебаний амплитуды складываются (кривая 1 на

(кликните для просмотра скана)

рис. 3.16, кривые на рис. 3.17, кривая 4 на рис. 3.18), при сдвиге фаз колебания имеют сложный характер (кривая 2 на рис. 3.16, кривые 3, 5, 6 на рис. 3.17 и 3.18).

Особый интерес представляет вопрос о характере нестационарных колебаний при тепловом ударе по поверхности пластины, когда они являются суперпозицией главных форм колебаний.

Так как при тепловом ударе колебания возникают вследствие изменения теплового поля, скорость его изменения существенно влияет на весь динамический процесс и зависит от теплофнзическнх констант ее материала и коэффициента теплоотдачи с боковой поверхности. Ее можно охарактеризовать временем стабилизации теплового поля До. С увеличением коэффициента теплоотдачи а уменьшается время стабилизации теплового поля и, соответственно, увеличивается скорость его изменения. Как показали численные исследования, при реальных значениях коэффициента теплоотдачи а время стабилизации До значительно больше периода колебаний пластины. Поэтому возбуждение колебаний при тепловом ударе с учетом конвективного теплообмена на поверхностях имеет специфический характер.

Рис. 3.15. Кривые динамического прогиба центрального сечеиия полосы при варьировании времени изменения температуры

Сначала материал нагревается у поверхности контакта с горячей средой, что вызывает изгиб пластины выпуклостью в сторону среды. Первую четверть периода колебаний действие тепловой нагрузки совпадает по направлению с движением пластины, затем в течение половины периода препятствует ее движению. И в дальнейшем, вплоть до теплового равновесия, если тепловая нагрузка в течение одного полупериода способствует движению, то в течение следующего полупериода препятствует ему. Чем больше приращение температуры за период колебаний (т. е. чем меньше отношение времени стабилизации теплового поля к периоду колебаний), тем больше амплитуда. Отношение к периоду колебаний увеличивается с возрастанием частоты. Поэтому, чем выше частота, тем меньше

амплитуда колебаний, возбуждаемых тепловым ударом. Это обстоятельство приводит к тому, что при тепловом ударе по всей поверхности пластины нестационарные колебания практически совпадают с первым главным колебанием.

Рис. 3.16. Движение пластаны толщиной при импульсивном изменении температуры окружающей среды.

Рис. 3.17. Движение пластины толщиной при импульсивном изменении температуры - окружающей среды.

Для подтверждения приведенных рассуждений рассмотрим колебания трех пластинок, графики движения которых представлены на рис. 3.13, 3.14 и 3.16. Частоты колебаний полосы и прямоугольной опертой пластины вычислены по известным формулам. Период колебаний для полосы (рис. 3.13) составляет для пластины на рис. 3.14 с и для пластины на рис. 3.15 с.

Графики рис. 3.13, 3.14 и 3.16 показывают, что колебания этих пластин происходят с периодами, практически совпадающими с Влияние высших форм на движение пластины во всех трех случаях весьма мало. Характерно, что с увеличением частоты амплитуда колебаний уменьшается.

Следует отметить, что даже локальный нагрев поверхности пластины (рис. 3.21) вызывает колебания, основной вклад в которые вносит низшее главное колебание Однако влияние высших форм колебаний здесь заметнее.

Рис. 3.18. Движение пластины толщиной при импульсивном изменении температуры окружающей среды.

Из приведенных результатов следует вывод о том, что при тепловом ударе по поверхности пластины с учетом конвективного теплообмена с окружающей средой влияние высших форм колебаний на напряженно-деформированное состояние пластины несущественно. Это позволяет утверждать, что при исследовании термомеханических явлений, вызываемых нестационарными тепловыми полями, допустимо использование уравнений технической теории изгиба пластин. Однако тепловое поле пластины в этих случаях следует изучать с позиций трехмерных уравнений теплопроводности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление