Главная > Разное > Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 1. УТОЧНЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ НЕТОНКИХ ОБОЛОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. МЕТОД И. Н. ВЕКУД

§ 1. Проекционный метод в теории оболочек

Задача построения математически непротиворечивой теории оболочек, являющейся корректно разрешимой и обеспечивающей выполнение всех независимых физических краевых условий, связана с необходимостью отказа от всех упрощающих физических и геометрических гипотез и использованием математически строгих методов редукции уравнений теории упругости. Сюда можно отнести проекционный метод уменьшения размерности дифференциальных уравнений в частных производных, основанный на том, что любую непрерывную функцию можно равномерно приблизить полиномами (теорема Вейерштрасса). Он представляет собой обобщение классических приближенных методов (метода моментов, метода Бубнова-Галеркина и др.) в рамках функционального анализа [75].

Опишем схему проекционного метода применительно к операторным уравнениям в гильбертовых пространствах. Пусть оператор А действует из гильбертова пространства со скалярным произведением в гильбертово пространство со скалярным произведением Оператор А имеет область определения плотную в и область значений плотную в

В силу сепарабельности гильбертова пространства в существует система элементов принадлежащих линейно независимая и полная в Обозначим через пространство натянутое на элементы

Рассмотрим последовательность элементов принадлежащих линейно независимую и полную в Обозначим через пространство натянутое на элементы

Определим проекционные операторы и проектирующие пространства на соответственно, с помощью равенств

Ищем приближенное решение операторного уравнения

т. е. на векторах подпространства Подставив (1.3) в (1.2), имеем уравнение

Потребуем, чтобы невязка была ортогональна подпространству т. е. Это равносильно системе уравнений

в виде

из которых находим коэффициенты определяющие решение (1.3).

Описанная процедура позволяет на базе уравнений термоупругости деформируемой среды получить двумерные уравнения теплового и силового полей в оболочке.

Пусть оболочка переменной толщины со срединной поверхностью занимает область эвклидова пространства система координат, связанная с Здесь граница срединной поверхности оболочки; криволинейные координаты на направлена по нормали к Поверхность является римановым пространством двух измерений, метрика которого задается первым метрическим тензором Свойства поверхности определяются также вторым метрическим тензором .

Термоупругое состояние оболочки как трехмерного тела описывается системой уравнений

где вектор перемещений; вектор объемной силы; коэффициенты Ляме; с — удельная теплоемкость вещества среды; коэффициент линейного теплового расширения; время; температура; контравариантные компоненты метрического тензора; определитель метрической формы пространства

Соотношения (1.5), (1.6) представляют собой уравнения равновесия тепловых истоков и сил в деформируемой среде с учетом уравнения состояния Дюамеля-Неймана и закона Фурье.

Неизвестные функции должны удовлетворять следующим условиям:

1. При задаются начальные величины перемещений, скоростей перемещений и температуры по всей области

2. На боковых поверхностях оболочки рассматриваются естественные краевые условия:

а) тепловые

где интенсивность теплового потока в направлении нормали к наружной поверхности; коэффициенты теплоотдачи на поверхностях нормали к поверхностям значения температуры окружающей среды;

б) механические

где - известные силы напряжения на поверхностях оболочки с нормалями соответственно

Краевые условия на торцевой поверхности оболочки могут быть сформулированы в следующем виде:

а) на поверхности задана температура как функция пространственных координат и времени

б) на поверхности происходит конвективный теплообмен с окружающей средой

где нормаль к поверхности температура окружающей среды.

Механические краевые условия определяют заданием на поверхности перемещений

или напряжений

В рассматриваемой системе координат метрику пространства выражают через метрику срединной поверхности следующим образом:

где детерминант метрической формы поверхности; К — средняя и гауссова кривизна поверхности определяемые соотношениями

Так как — неотрицательная на функция, то можно ввести и рассмотреть вещественное гильбертово пространство вектор-функций заданных на отрезке со скалярным произведением

Предполагаем, что функции ) суммируемые с квадратом по лебеговой мере на

Обозначим энергетическое пространство положительно определенного оператора который задается дифференциальным выражением

и естественными однородными краевыми условиями

где матричные операторы дифференцирования по удовлетворяющие условиям выполнения аксиом скалярного произведения для билинейной формы

значками помечены значения функций при соответственно. Скалярное произведение в задается формулой

Как известно [69], состоит из функций, абсолютно непрерывных на сегменте с квадратично суммируемой первой производной (без каких-либо граничных условий). Введем оператор С, который задается дифференциальным выражением

и определен на

Рассмотрим схему проекционного метода применительно к выводу уравнений движения оболочки. Полагая

можно надлежащим выбором вектор-функции привести граничные условия (1.9) относительно к граничным условиям вида (1.22) для вектор-функции Принимая за новое неизвестное, уравнения (1.6) с учетом соотношений (1.14) приводим к уравнению с операторными коэффициентами

(см. скан)

некоторая форма от значений неизвестных и их производных по на боковых поверхностях оболочки; известная вектор-функция; вектор-функция аргументов принимающая значения в

удовлетворяющая одному из граничных условий (1.12), (1.13) и начальным условиям (1.7) с учетом замены переменных (1.22).

Выбирая в качестве конечномерное подпространство про етранства и в качестве конечномерное подпространство пространства ищем в виде

где находим из уравнений проекционного метода

Здесь оператор, проектирующий на согласно (1.25).

Неизвестные на должны удовлетворять одной из двух систем граничных условий

и двум системам начальных условий

где матричная запись левой части выражения (1.13).

Если краевая задача имеет решение, то приближенное решение находится в виде (1.25). Введем функционалы

которые назовем моментами вектор-функций относительно последовательности вектор-функции

Перемножив как скалярное произведение в левые и правые части уравнений (1.6) и соотношений (1.7), (1.12), (1.13) на с помощью интегрирования по частям и использования соотношений (1.9) можно получить систему уравнений и граничных условий, которым должны удовлетворять функционалы В уравнения для будут входить

также значения вектор-функции и ее первых производных по на боковых поверхностях оболочки. Полагая, что представляется в форме

выразим граничные значения функции в виде

Аналогично находим значения производных от по на боковых поверхностях оболочки.

Используя формулы (1.29) и (1.30), в случае невырожденности матрицы строим взаимно обратные зависимости

С помощью соотношений (1.33) можно исключить значения и ее первых производных по на поверхностях оболочки и получить полную систему уравнений и граничных условий для функций которую называют краевой задачей в моментах, На основе зависимости (1.32) строим полную систему уравнений и граничных условий для функций Соответствующую этой системе уравнений краевую задачу называют краевой задачей в коэффициентах.

В силу соотношения (1.22) между коэффициентами разложения вектор-функций по базису можно установить взаимно однозначное соответствие, из чего вытекает эквивалентность второго варианта уравнений динамики оболочки (краевая задача в коэффициентах) уравнениям проекционного метода. Таким образом, уравнения проекционного метода могут содержать в качестве неизвестных коэффициенты или моменты, приводить же граничные условия на боковых поверхностях оболочки к однородным с помощью замены не обязательно.

Выполнив аналогичные выкладки, можно получить соответствующие выражения для уравнений теплопроводности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление