Главная > Разное > Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

§ 1. Распространение бегущих изгибных волн в цилиндрических оболочках постоянной и переменной толщины

При воздействии на оболочку разрывных во времени и пространстве нагрузок в ней возникают продольные и поперечные бегущие волны. Вследствие принятых допущений кинематического и статического характера классическая теория оболочек утратила свойство гиперболичности трехмерных уравнений движения упругой среды и оказывается неприемлемой для описания бегущих нзгибных волн. Поэтому к обычно рассматриваемым в классической теории оболочек деформациям и силам инерции рассматривают деформации, связанные с поперечными силами, и инерцию вращения. Такая схема динамического поведения оболочки обычно трактуется как модель второго приближения.

Эта модель связана с именем С. П. Тимошенко, предложившего применять ее к теории изгиба балок. Важно отметить, что уравнения движения для модели второго приближения получаются гиперболического типа. Их недостаток состоит в том, что они построены на гипотезах, которые, по крайней мере на первый взгляд, носят интуитивный характер.

Так как операция проекционного преобразования не изменяет свойств исходных уравнений, уточненные уравнения динамики оболочки (1.84) сохранили гиперболичность исходных соотношений динамики упругого тела. Это свойство позволяет использовать их для исследования явлений образования, распространения и отражения бегущих изгибных волн в оболочке.

Исследование бегущих волн в оболочках представляет особый интерес в случаях, когда силовое воздействие локализовано в зоне поверхности, поперечник которой сравним с толщиной оболочки, а время действия нагрузки меньше времени пробега упругой волной длины оболочки.

Для цилиндрической оболочки уравнения движения имеют вид

(см. скан)

Здесь оси правой системы координат направлены соответственно по образующей, по дуге нормального сечения и по нормали к поверхности цилиндра; радиус оболочки; толщина; моменты контравариантиых компонент тензора напряжений; время; плотность материала. Величины напряжений на внешней и внутренней поверхностях помечены соответственно знаками

Используя закон Гука в форме (1.114) и выражая моменты компонент тензора деформаций и его первого инварианта через моменты составляющих вектора упругого смещения (1.117), получаем уравнения движения относительно величин и

Задачу о воздействии на цилиндрическую оболочку кольцевого локализованного нмпульса внешнего давления решали методом конечных разностей на ЭВМ БЭСМ-6. Для аппроксимации временной производной использовали явную разностную схему, каноническую форму которой можно записать так [84]:

заданные векторы из — гильбертово пространство; заданная функция со значениями в линейные операторы на

Теория устойчивости схем типа (3.3) построена А. А. Самарским [84] на основе энергетических неравенств и априорных оценок. Полученное им условие устойчивости при любом имеет вид

где положительные постоянные, не зависящие от некоторые нормы на

Выполнение условия (3.4) обеспечивалось выбором значения шага Величина подбиралась путем численного эксперимента.

Сходимость алгоритма (3.3) следует из теоремы эквивалентности [67], утверждающей, что, если линейная однородная дифференциальная задача корректна и разностная схема аппроксимирует эту задачу, то устойчивость разностной схемы является

необходимым и достаточным условием сходимости решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи.

Для расчета выбраиа оболочка со следующими геометрическими и механическими характеристиками: длина оболочки По контурам выполняли условия жесткого защемления. Число узлов сетки по образующей принимали равным 83 (с двумя законтурными узлами). Ширина кольца нагрузки, приложенной к середине длины оболочки, равна пяти шагам сетки; интенсивность нагрузки Найденная из условия устойчивости счета величина шага по времени при составила длительность импульса

Для исследования распространения изгибных волн но длине оболочки в уравнениях (3.1), (3.2), (1.102), (1-114) достаточно удерживать моменты нулевого и первого порядка. Однако для учета волн, распространяющихся по толщине оболочки и вызывающих высокочастотное колебание, в разрешающих уравнениях удерживали моменты до восьмого порядка включительно. В этом случае Величины перемещений и напряжений определялись в девяти точках по толщине оболочки.

Рис. 3.1. Распространение изгибной волны при локальном возмущении цилиндрической оболочки.

Результаты решения проиллюстрированы на рис. 3.1. На рис. 3.1, а показан процесс возникновения и распространения изгибной волны по длине х оболочки от середины пролета до защемленного края Форма и положение волн на рисунках показаны через каждые 20 шагов по

времени. Через 140 шагов волна достигла защемленного края и отразилась, форма отраженной волиы и ее дальнейшее движение изображены на рис. 3.1,6. После отражения бегущие волны накладываются на стоячие и их разделение становится затруднительным (рис. 3.1, в).

С помощью уравнений теории И. Н. Векуа можно исследовать динамические явления в оболочках переменной толщины.

Рис. 3.2. Распространение волн прогибов в оболочках посгоянной и переменной толщины.

Неоднородность свойств оболочки в этом случае приводит к возможности возникновения качественно новых эффектов, искажающих общую форму движения. Изучение распространения упругих волн в тонкостенных конструкциях переменной толщины связано с трудностями, вызванными переменностью коэффициентов резрешающих уравнений в области пространственных координ

На базе соотношений (3.1), (3.2), (1.102), (1.114) решена задача динамики цилиндрической оболочки переменной толщины при воздействии на нее локального импульса внутреннего давления. Рассмотрена оболочка длиной и радиусом Толщина линейно изменяется вдоль образующей от при (в центральном сечении) до при Расчет произведен для половины оболочки На краю выполнялись условия жесткого

защемления, при условия симметрии. Для сравнения решена также задача динамики цилиндрической оболочки постоянной толщины с указанными выше параметрами. Число узлов сетки по координате принимали равным 83. Ширина кольца нагрузки, приложенной в сечении равна двум шагам разностной сеткн, интенсивность нагрузки Величина шага по времени продолжительнасть импульса размерность координатного базиса

Рис. 3.3. Распространение волн напряжений а в оболочках постоянной и переменной толщины.

Процесс распространения волн по координате для моментов времени показан на рис. 3.2. Сплошными кривыми представлены волны в оболочке переменной толщины, пунктиром — при Позиции соответствуют значениям .

Вслед за ударом по длине и толщине оболочки начинают распространяться продольные и поперечные волны смещений со скоростями соответственно. Эти два вида волн распространяются независимо до момента отражения какой-либо из них от поверхности оболочки. Вследствие их наложения образуется бегущая изгибная волна. С уменьшением толщины оболочки происходит увеличение длины волны

При движении продольной волны в направлении уменьшения толщины плотность энергии, переносимой волной, возрастает.

Это вызывает увеличение амплитуды напряжения Распространение волны по длине оболочки постоянной толщины характеризуется незначительным изменением ее амплитуды.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление