Главная > Разное > Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Оболочки в упругих средах

В современной технике (машино- и авиастроении, строительстве) широко распространены конструкции типа оболочек, контактирующих с упругой средой. В связи с тем, что классическая теория оболочек базируется на упрощающих гипотезах, пренебрегающих нормальными к срединной поверхности напряжениями, она может оказаться неприемлемой для исследования контакта оболочки с упругой средой. В этих случаях соизмеримость значений трех главных компонент тензора напряжений приводит к необходимости применения методов редукции трехмерных уравнений теории упругости без привлечения упрощающих кинематических и статических гипотез.

При постановке рассматриваемой задачи воспользуемся уравнениями теории оболочек, построенными в § 4 главы 1.

Для тонких оболочек уравнения равновесия можно записать в виде

Тогда формулы для моментов контравариаитных компонент тензора напряжений запишем как

Моменты контравариантных компонент тензора деформаций и его первого инварианта выражаются через моменты составляющих вектора перемещений следующим образом:

Нагрузка, приложенная к оболочке, определяется напряжениями действующими на поверхностях Если они малы по сравнению с напряжениями а то можно не делать различий между напряженной и ненапряженной поверхностями считать, что нагрузка приложена к срединной поверхности оболочки. Если напряжения велики, то напряженное состояние оболочки существенным образом зависит от того, к какой из поверхностей приложена нагрузка.

В наибольшей мере эта особенность проявляется при исследовании напряженно-деформированного состояния оболочек в упругих средах. В этих случаях напряжения на поверхности контакта оболочки со средой (например, определяются жесткостью среды и оказываются связанными с перемещениями уравнениями взаимодействия.

Будем считать, что оболочка контактирует с упругой средой на поверхности и напряжения заданы. Тогда можно принять, что усилие взаимодействия в точке в направлении координаты вызванное единичным смещением в направлении точки поверхности с координатами равно Уравнения контакта на поверхности для точки имеют вид

где лицевая поверхность оболочки

Подстановка заданных значений напряжений и построенных интегральных представлений (2.24) величин ) в уравнения равновесия (2.20) приводит к замкнутой системе интегродифференциальных уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние оболочки в упругой среде.

Рис. 2.36. Схема цилиндрической оболочки, находящейся в упругой среде.

Сложность этой системы определяется видом ядер ), входящих в подинтегральные выражения соотношений (2.24).

Наиболее простой вид уравнения контакта (2.24) имеют для сред, не воспринимающих касательных напряжений, и коэффициент Пуассона которых равен нулю. В этом случае ядро имеет вид дельта-функции, а ядра ) — нули.

На основе полученных соотношений исследовано напряженное состояние цилиндрической оболочки, находящейся в упругой

винклеровской среде (рис, 2.36). Приняты следующие значения геометрических параметров оболочки: Нагрузка, действующая на поверхности с интенсивностью прикладывалась в зоне шириной 1/4.

Сложность системы разрешающих уравнений теории оболочек исключает возможность ее аналитического решения. Поэтому задачу решали конечно-разностным методом на ЭВМ БЭСМ-6. Число разностных делений, нанесенных на выделенную для расчета часть образующей оболочки, приняли равным сорока.

Таблица 2.15 (см. скан)

Таблица 2.16 (см. скан)

В табл. 2.15 приведены перемещения срединной поверхности цилиндрической оболочки и «физические» компоненты тензора напряжений в среднем сечении нагруженного участка направлена пдоль образующей цилиндрической оболочки, в кольцевом направлении) в зависимости от соотношения жесткостей упругой среды и материала оболочки. Значения тех же величин, вычисленных исходя из уравнений классической теории, сведены в табл. 2.16. При соответствующие параметры в табл. 2.15 и 2.16 отличаются незначительно. С ростом отношения расхождение результатов, полученных на основе классической теории и уточненных уравнений, увеличивается. В цилиндрической оболочке с возникает продольное сжатие, учесть которое с помощью соотношений классической теории невозможно.

Уравнения (2.20) — (2.23) приведены для оболочек, у которых отношение толщины к радиусу кривизны срединной поверхности достаточно мало. Учет изменения компонент метрического тензора по нормали к срединной поверхности позволяет исследовать оболочки с любым значением отношения На рис. 2.37 построены эпюры «физических» компонент тензора напряжений по толщине цилиндрической оболочки с параметром Кривые 1 соответствуют случаю кривые 2 построены для оболочки с параметром кривые 3 — для случая

Из приведенных результатов видно, что в зоне действия нагрузки напряжения являются величинами одного порядка с напряжениями и их значения на поверхности

возрастают с увеличением отношения Нормальные напряжения при увеличении параметра уменьшаются и меняют знак при

Рассмотрено напряженное состояние цилиндрической оболочки с упругим заполнителем, нагруженной равномерно распределенным внешним давлением интенсивностью на участке шириной 1/4.

Рис. 2.37. (см. скан) Эпюры «физических» компонент тензора напряжений по толщине цилиндрической оболочки с параметром

Геометрические параметры и соотношения жесткостей упругого заполнителя и материала оболочки те же, что и в предыдущем примере. Результаты расчетов для пяти точек центрального сечеиия нагруженной зоны оболочки приведены в табл. 2.17.

Исследована замкнутая сферическая оболочка с упругим заполнителем (рис. 2.38), нагруженная в полюсах локальной нагрузкой интенсивностью Угол раствора грузовой площадки измеряется от полюса оболочки). Ввиду симметрии рассматривалась часть меридиана оболочки, заключенная между полюсом и экватором. Число разностных делений, нанесенных на рассчитываемую часть образующей, принято равным 81.

Рис. 2.38. Схема сферической оболочки с упругим заполнителем.

Радиус срединной поверхности сферической оболочки составлял Пространственные координатные линни ориентированы следующим образом: направлена вдоль образующей (от полюса); в окружном направлении; нормально к срединной поверхности. Варьировали толщину оболочки и соотношение жссткостей упругого заполнителя и материала оболочки.

На рис. 2.39 показаны эпюры «физических» компонент тензора напряжений по толщине сферической оболочки с параметром Кривые 1 построены для оболочки с параметром кривые 2 — для случая

Таблица 2.17 (см. скан)

кривые 3 соответствуют случаю Значения их ординат в пяти точках сечения сведены в табл. 2.18. Размерность координатного базиса при выполнении расчетов составляла В табл. 2.19 приведены значения перемещений и напряжений в том же сечении сферической оболочки с параметром

Рис. 2.39. (см. скан) Эпюры «физических» компонент тензора напряжений по толщине сферической оболочки с параметром

Выполненные исследования напряженного состояния оболочек, взаимодействующих с упругой средой, основанные на применении системы уравнений (2.20) — (2.23), показывают, что влияние упругой среды качественно изменяет напряженное состояние оболочки, существенно приближая его к трехмерному.

В случае контакта тонкостенной оболочки с упругой средой небольшой жесткости появляется возможность исследования напряженного состояния оболочки на основе упрощенных уравнений [3]. Рассмотрим возможные упрощения основных соотношений для круговых цилиндрических оболочек в упругой среде, воспользовавшись уравнениями теории цилиндрических оболочек, приведенными в работе [31].

Таблица 2.18 (см. скан)

Примем, что влияние окружающей оболочку среды сводится к дополнительному давлению, обусловленному перемещением оболочки, которое разделяется на нормальную составляющую и составляющие, направленные вдоль касательных к координатным линиям, пропорциональные компонентам перемещения срединной поверхности оболочки [3]. Тогда точная (в пределах гипотезы Кирхгофа-Лява) система дифференциальных уравнений равновесия оболочки в компонентах вектора перемещения запишется так:

Таблица 2.19 (см. скан)

где коэффициенты сопротивления окружающей оболочку среды компонентам перемещения по направлению единичных векторов координат на срединной поверхности и по нормали к поверхности; криволинейные ортогональные координаты, совпадающие с главными линиями кривизны срединной поверхности цилиндрической оболочки; — безразмерная длина прямолинейной образующей; безразмерная длина дуги направляющего круга; проекции вектора перемещений на направления единичных векторов координат на срединной поверхности; проекции векторов внешних усилий на направления единичных векторов координат на срединной поверхности; главный радиус кривизны срединной

поверхности цилиндрической оболочки; толщина оболочки; модуль упругости и коэффициент Пуассона материала оболочки.

Соответствующая зависимостям (2.25) однородная система сводится к следующему дифференциальному уравнению в частных производных восьмого порядка относительно потенциальной функции Ф:

(см. скан)

где безразмерный параметр.

Соотношение (2.26) можно назвать разрешающим уравнением для однородной системы (2.25), описывающей при принятых предположениях напряженно-деформированное состояние круговой цилиндрической оболочки, находящейся в упругой среде.

Компоненты перемещения определяются при помощи функции по формулам

(см. скан)

Разлагая потенциальную функцию в ряд по переменной 0, для каждого члена разложения находим обыкновенное дифференциальное уравнение, характеристическое уравнение для которого имеет вид

(см. скан)

Возможности упрощения характеристического уравнения (2.28) вытекают из неравноценности отдельных его членов. Отбрасывая второстепенные члены, упростим соотношения (2.25) — (2.28).

Коэффициенты уравнения (2.28) зависят от шести параметров Параметр а для тонкой оболочки всегда мал, поэтому можно принять Область изменения параметра определяется неравенствами

Полагаем, что коэффициент Пуассона оказывает незначительное слияние на величину коэффициентов характеристического уравнения и всегда сохраняет определенное значение [31].

Рассмотрим среды, для которых возможно пренебрежение сопротивлением упругой среды компонентам перемещения по направлению единичных векторов координат на срединной поверхности, т. е. Такие модели применяют при расчете реальных конструкций трубопроводов и емкостей, уложенных в грунт.

Принимая во внимание вышеуказанное и отбрасывая величины порядка по сравнению с величинами порядка единицы, получаем

Для оценки порядка модулей корней (2.29) положим а решение уравнения (2.29) ищем в виде

Дополнительно умножим обе части уравнения (2.29) на а и найдем значения при которых коэффициенты преобразованного уравнения не становятся одновременно равными нулю, если т. е. те случаи, когда х имеет конечный предел при

После указанных преобразований формула (2.29) примет

Результаты исследования возможных упрощений характеристического уравнения (2.29) приведены в табл. 2.20, где рассмотрены значения параметра

(см. скан)

(см. скан)

При этом определены исходные соотношения и область применения основных (полумоментных) напряженно-деформированных состояний и краевых эффектов для круговых замкнутых цилиндрических оболочек, уложенных в упругой среде. Использование их позволяет значительно упростить анализ напряженного состояния оболочки.

Заметим, что в наиболее часто встречающемся на практике случае влияние упругой среды сказывается лишь при определении малых корней характеристического уравнения, соответствующих основному (полумомеитному) напряженно-деформировапному состоянию.

При проведенный анализ не учитывает изменений в напряженном состоянии оболочки в упругой среде. Численные результаты показывают, что в этом случае влияние упругой среды незначительно и им можно пренебречь.

Таким образом, корни характеристического уравнения (2.25) можно определить с достаточной степенью точности из полученных приближенных соотношений, что существенно упрощает качественный анализ напряженно-деформированного состояния оболочки.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление