§ 5. Исследование напряженного состояния цилиндрической оболочки, нагруженной распределенным по кольцу равномерным давлением

Рассмотрим задачу об упругом равновесии цилиндрической оболочки средней толщины, нагруженной на кольцевом участке нагрузкой постоянной интенсивности При построении разрешающих уравнений примем назначаем из условий сходимости вычислительного процесса, компоненты метрического тензора и параметры второй квадратичной формы выбираем в форме (2.1). Тогда уравнения равновесия запишем так:

(см. скан)

Рис. 2.13. (см. скан) Эпюры нормальных перемещений по толщине цилиндрической оболочки, нагруженной распределенным по кольцу равномерным давлением.

Здесь используется правая система координат: направлена по образующей; по дуге окружности; по нормали к поверхности радиус кривизны поверхности толщина. Используя закон Гука в форме (1.114) — (1.118), выражаем моменты компонент тензора напряжений через моменты компонент тензора деформаций

Моменты компонент тензора деформаций и его первого инварианта в определяются моментами составляющих вектора упругого смещения :

Рис. 2.14. (см. скан) Распределение «физических» компонент тензора напряжений в цилиндрической оболочке, находящейся под действием распределенного по кольцу равномерного давления.

Подставляя выражения (2.10), (2.11) в соотношения (2.9), получаем разрешающие уравнения относительно величин и». Вследствие наличия осевой симметрии нагрузки второе уравнение равновесия (2.9) удовлетворяется тождественно, а моменты равны нулю.

Рис. 2.15. Распределенне «физических» компонент тензора напряжений по толщине цилиндрической оболочки.

Это значительно упрощает поставленную задачу.

Рассмотрим пример расчета оболочки при следующих данных: длина оболочки материал — сталь Считаем, что нагрузка распределена по кольцевой зоне шириной в центральной части оболочки. На краях удовлетворяются условия жесткой заделки. Задачу решаем методом конечных разностей на ЭВМ БЭСМ-6. Количество узлов сетки по образующей принимаем равным 83 (с двумя законтурными узлами).

Наибольший порядок моментов компонент вектора упругого смещения, удерживаемых при решении уравнений, составляет от до включительно. Значения перемещений и напряжений определяем в девяти точках по толщине оболочки. Результаты решений показаны на рис.

На рис. 2.13 показаны величины нормальных перемещений при в средней по длине точке 42 и в ближайшнх к ней точках 39, 40, 41.

Рис. 2.16. (см. скан) Значения «физических» компонент тензора напряжений в цилиндрической оболочке.

Точки по толщине пронумерованы от 1 (на внутренней поверхности) до 9 (на внешней).

Как показали расчеты, величины перемещений найденные при отличаются незначительно, расхождение не превысило 5—6%.

Значения «физических» компонент тензора напряжений соответствующие координатным осям показаны соответственно на рис. Их величины существенно изменяются с увеличением размерности базиса В

отдельных точках расхождение значений составляет до 30— 35%. Особенно большое различие наблюдается в эпюрах В этом случае решение с размерностями дает неприемлемые результаты. Для получения практически точного результата необходимо принять