Главная > Разное > Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ВВЕДЕНИЕ

Классическая теория оболочек, основанная на уравнениях теории упругости и ряде упрощающих гипотез, в настоящее время достигла известных успехов. Значительный вклад в ее развитие внесли советские ученые С. А. Алексеев, Н. А. Алумяэ, С. А. Амбарцумян, В. В. Болотин, В. 3. Власов, А. С. Вольмир, И. И. Ворович, К. 3. Галимов, А. Л. Гольденвейзер, В. М. Даревский, Н. А. Кильчевский, А. И. Лурье, X. М. Муштари, У. К. Нигул, В. В. Новожилов, П. М. Огибалов, Ю. Н. Работнов, Г. Н. Савин, К. Ф. Черных и др.

При разработке классической теории оболочек исследователи ориентировались на методы, требующие максимального упрощения разрешающих уравнений и устранения из них величин, существенно не влияющих на окончательные результаты. Однако это сужает класс исследуемых оболочек и исключает из поля зрения некоторые важные механические и физические эффекты.

Как подтверждают многочисленные теоретические и экспериментальные исследования, классическая теория оболочек позволяет вполне удовлетворительно описывать равновесие достаточно тонких и гладких оболочек при отсутствии локальных возмущений. Она распространяется также на нелинейные задачи, в первую очередь на задачи теории устойчивости. Что касается задач динамики, то упрощенная теория позволяет без существенных погрешностей определять лишь интегральные характеристики процесса, в частности низшие частоты свободных колебаний.

С развитием техники возникают новые задачи теории оболочек, решать которые необходимо без привлечения вспомогательных гипотез о характере распределения искомых полей по толщине (толстостепные оболочки, оболочки с быстро изменяющимися параметрами, оболочки в упругой среде, явления распространения волн в оболочках, теплового удара и т. д.). Это

обусловило развитие различных направлений неклассической теории оболочек, классифицирующихся на основе связи различных способов построения систем уравнений механики оболочек с методами решения краевых задач теории упругости.

Современные исследования по неклассической механике оболочек связаны с непосредственным применением соотношений теории упругости, различных вариантов асимптотического способа, построением уравнений теории оболочек на основе уравнений теории упругости в сочетании с их аналитическими преобразованиями.

К первой группе исследований относятся работы, основанные, как правило, на применении численных методов при решении задач о переходных процессах в толстостенных оболочках.

Вторая группа исследований сопряжена с методами асимптотического интегрирования. Применение их к теории оболочек позволило установить структуру искомых полей в тонких оболочках и указать оценки погрешностей, вносимых различными упрощениями. К этому научному направлению можно отнести также теории, исключающие применение некоторых гипотез классической теории (например, теория типа Тимошенко, разрабатываемая для анизотропных оболочек Б. Л. Пелехом и другими учеными).

К третьей группе относятся работы, сочетающие приведение трехмерных краевых задач теории упругости к двумерным задачам теории оболочек с оценкой области применимости приближенных теорий. В этом направлении выделяется метод, основанный на построении разложений искомых функций по возрастающим степеням координаты в тригонометрические ряды, в ряды по полиномам Лежандра и т. д. Подробный обзор работ, связанных с этим способом приведения, представлен в монографии Н. А. Кильчевского [54].

И. Н. Векуа на базе вычисления коэффициентов разложения компонент смещения в ряды по полиномам Лежандра от координаты разработал теорию тонких пологих оболочек. Используя эту теорию, Т. С. Вашакмадзе [17]; Д. Г. Гордезиаии [32]; В. С. Жгенти [43]; А. Р. Хволес [92] решили задачи о напряженно-деформированном состоянии пластин и оболочек. X. М. Муштари и Н. К. Галимов [71], используя метод И. Н. Векуа, построил уточненные уравнения трехслойных пластин и оболочек. Г. Н. Савии и И. Ю. Хома [82, 93] распространили теорию И. Н. Векуа на анизотропные пластины и оболочки. За рубежом в этом направлении работают А. Солер и С. Хатчис. Полученные соотношения теории оболочек свободны от недостатков, связанных с применением гипотезы Кирхгофа-Лява.

Введение моментов высших порядков и учет изменения метрики по толщине позволяют построить уравнения теории нетонких оболочек переменной толщины на основе теории тонкие

оболочек И. Н. Векуа. Отказ от геометрической гипотезы о малости отношения толщины оболочки к радиусу кривизны ее срединной поверхности и учет изменения метрики по толщине делают эффективными полученные соотношения для исследования оболочек с быстро изменяющимися параметрами геометрии и толщины. Отсутствие статической и кинематической гипотез о распределении напряжений и деформаций по толщине позволяет рассмотреть локальные возмущения, оболочки в упругих средах, волновые процессы, протекающие в оболочках.

В настоящей работе рассмотрены неклассические задачи статики, динамики и устойчивости оболочек.

Для построения уточненных уравнений теории нетонких оболочек переменной толщины используем проекционный метод редукции уравнений теории упругости. Поскольку устойчивость приближенного решения и его сходимость к точному определяются видом базисных функций, то целесообразно в качестве координатных функций использовать полиномы Лежандра, примененные И. Н. Векуа для: построения теории тонких пологих оболочек.

Полученные уточненные соотношения теории оболочек эквивалентны трехмерным уравнениям термосилового равновесия элемента деформируемой среды. Точность аппроксимации уточненными уравнениями искомых функций по нормальной координате зависит от размерности системы базисных функций и степени учета изменения метрики по толщине оболочки.

Поскольку построенные дифференциальные уравнения составляют системы более высокого порядка, чем система уравнений классической теории, то необходимо увеличить точность постановки краевых условий, что достигается применением проекционного метода к краевым уравнениям исходной задачи.

На основе уравнений, свободных от упрощающих геометрических, кинематических и статических гипотез классической теории, исследовано напряженно-деформированное состояние оболочек с быстро изменяющимися по пространственным координатам параметрами. Рассмотрены толстостенные оболочки, характеризующиеся быстрым изменением компонент метрического тензора по толщине.

Выявлены особенности задачи о напряженном состоянии оболочки, находящейся под действием быстро изменяющейся по пространственным координатам нагрузки. Показано, что в оболочках с быстро изменяющимися кривизнами и толщиной распределение напряжений по толщине носит нелинейный характер. Исследовано взаимодействие оболочки с упругой средой, характеризующееся возникновением в ней существенно трехмерного поля напряжений.

Так как операция проекционного преобразования не изменяет свойств исходных уравнений, уточненные уравнения динамики оболочки (в изотермическом случае) сохраняют свойства

гиперболичности, а уравнения нестационарной теплопроводности — параболнчности. Это позволяет использовать выведенные соотношения для изучения явлений образования, распространения и отражения бегущих изгибных волн в оболочке и для анализа температурного пограничного слоя, вызванного тепловым ударом по ее поверхности.

Применение уточненных уравнений дает возможность также решать задачи об устойчивости толстостенных оболочек в геометрически нелинейной постановке. Под критическими состояниями оболочки понимают точки вырождения линеаризованного оператора на траектории нагружения, которую строят методом продолжения решения по параметру. Регуляризацию некорректной задачи в окрестности особых точек обеспечивают сменой ведущего параметра. При нагружении оболочки внутренним давлением характер трансформирования ее полей перемещений и напряжений определяется в большей мере физической нелинейностью. Применение к описанию деформации метода Лагранжа и учет изменения метрики в процессе трансформирования поверхности оболочки позволили описать ее большие формоизменения. Исследовано влияние формы срединной поверхности и изменения толщины оболочек на величину критического давления и характер деформирования их за пределами упругости.

Решение поставленных задач получено методом конечных разностей в сочетании с методами тензорного анализа. Конечноразностную аппроксимацию исходной континуальной задачи осуществляли путем замены дифференциальных операторов разностными. При аппроксимации функций, обладающих высокими градиентами, целесообразно использовать конечные разности третьего порядка точности.

Реализация алгоритма формирования и решения алгебраических уравнений выполнена на ЭВМ БЭСМ-6 на основе системы программ, написанных на алгоритмическом языке ЦЕРН-ФОРТРАН и автокоде МАДЛЕН. Использование блочного метода Гаусса для решения полученных уравнений позволило довести порядок их системы до 6000.

Ввиду большой сложности разрешающих уравнений программа их формирования составлена из отдельных подпрограмм, повторяющих основные звенья вывода уточненных уравнений теории нетонких оболочек переменной толщины. Все этапы решения, включая машинную обработку входной и выходной информации, формирование и решение уравнений, автоматизированы.

Таким образом, в данной работе получены уточненные уравнения эластодинамики оболочек. Выполненные исследования свидетельствуют об эффективности построенных соотношений для решения неклассических задач статики, динамики и устойчивости оболочек. Полученные результаты для оболочек с

реальными параметрами, представленные в виде таблиц и графиков, могут быть использованы в инженерной практике.

Авторы выражают благодарность коллегам по работе, сотрудникам Проблемной научно-исследовательской лаборатории тонкостенных пространственных конструкций Киевского ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительного института к. т. н. Е. А. Гоцуляку, к. т. н. С. К. Никитину, к. т. н. В. К. Чибирякову, а также рецензентам члену-корреспонденту АН УССР д. т. и. А. С. Космодамианскому, д. ф.-м. н. профессору Б. Л. Пелеху, д. т. н. В. А. Заруцкому.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление