комплексные потенциалы (1.72) принимают вид [77]
где
-коэффициенты, определяемые из системы (1.73);
точки, получаемые из
при аффинных преобразованиях (1.54);
функции, голоморфные вне эллипсов
соответствующих контуру
Используя конформное отображение (2.3) внешности единичного круга на внешности
получаем
Здесь
функции, голоморфные вне единичного круга в областях
точки, соответствующие точкам
при конформном отображении.
Подставив выражения (2.27) в граничные условия (2.1), получим
где
Применяя метод интегралов типа Коши, как и в § 2, находим
Следовательно,
Если сосредоточенная сила приложена в точке
контура отверстия, то
При этом выражение (2.29) примет вид
После определения комплексных потенциалов (2.27) напряжения, возникающие в пластинке, находятся по формулам (1.43).
Пусть анастинка изготовлена из ортотропного материала, а главные направления упругости совпадают с осями эллипса. Сосредоточенная сила
действует в точке вещественной оси и направлена так, как это показано на рис. 2.5. Тогда
Для этого случая на рис. 2.5 изображен график распределения напряжений
около контура кругового отверстия.
Причем пластинка считалась изготовленной из авиационной фанеры
а сила
была приложена на расстоянии одного радиуса от контура отверстия. Пунктирная линия относится к случаю, когда пластинка изготовлена из изотропного материала. Как следует из графика, наибольшего значения напряжения
достигают в точке контура
находящейся на самом близком расстоянии от точки приложения силы.
Рис. 2.5
Концентрация напряжений в точке А резко возрастает при
Если же
то концентрация напряжений в этой точке, начиная с
практически не меняется.
Аналогично решению задачи о действии сосредоточенной силы получается решение для случая действия сосредоточенного момента
в некоторой точке
Комплексные потенциалы при этом имеют вид
В областях имеем
где
функции, голоморфные вне единичного круга;
Подставим выражения (2.32) в граничные условия (2.1) и применим метод интегралов типа Коши. Получим
Окончательно для функций (2.32) будем иметь
Если сосредоточенный момент действует в точке контура отверстия, то
а
После определения функций
напряжения находятся по формулам (1.43).
Задачи о действии сосредоточенных силы и момента впервые были рассмотрены Д. В. Грилицким [77].