Главная > Разное > Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Частные случаи напряженного состояния пластинки с эллиптическим отверстием

Растяжение пластинки

Пусть пластинка с эллиптическим отверстием, главные направления упругости для которой совпадают с направлениями осей отверстия, растягивается усилиями интенсивности (рис. 2.3). В этом случае в сплошной пластинке

На контуре воображаемого эллиптического отверстия которое возникнет в пластинке, проекции внешних усилий на оси х и у будут согласно формулам (1.4) и (1.14) равны

Образование в загруженной пластинке эллиптического отверстия равносильно приложению к его контуру усилий

При этом к первому полю напряжений (2.11) добавится второе поле, возникшее в пластинке за счет появления в ней отверстия. Для определения второго поля нужно найти функции из граничных условий (2.1) при

Подставим выражения (2.13) в формулу (2.10) и проведем интегрирование. Получим

где

Рис. 2.3

Выражения для функций были впервые получены С. Г. Лехницким [54] для более общего случая, когда пластинка растягивается под произвольным углом к большой оси эллиптического отверстия. При построении решения использовали метод рядов. Позднее эта же задача была решена Г. Н. Савиным [76] методом, основанным на применении формулы Шварца.

С помощью функции (2.14) по формулам (1.43) можно найти второе поле напряжений, которое в совокупности с первым (2.11) определит напряженное состояние рассматриваемой пластинки.

Рассмотрим ортотропную пластинку, главные направления упругости которой совпадают с направлениями осей эллиптического отверстия. Для многих ортотропных материалов [54, 76] параметры являются чисто мнимыми:

Равенство (2.16) будем использовать при рассмотрении всех конкретных пластин в рамках плоской задачи.

Определяя напряжения вблизи контура эллиптического отверстия, где возникает их концентрация, следует учитывать, что

Здесь

Напряжения действуют на площадках, касательных к контуру эллиптического отверстия, а на площадках, нормальных к нему. В рассматриваемой пластинке эллиптическое отверстие свободно от действия внешних нагрузок. Поэтому .

Выражение (2.17) на основании формул (2.18) преобразуем к виду

Здесь и в дальнейшем считаем, что

При формула (2.19) существенно упрощается. В этих точках имеем

На рис. 2.3 изображен график, характеризующий изменение напряжений по контуру эллиптического отверстия. Сплошная линия соответствует случаю, когда пластинка изготовлена из фанеры а пунктирная — когда материал пластинки является изотропным Отношение полуосей эллиптического отверстия принято равным двум.

Из приведенного рисунка видно, что максимальное значение напряжения принимают в точках, для которых

Чистый изгиб пластинки

Пусть пластинка изгибается моментами интенсивности таким образом, как это указано на рис. 2.4. В сплошной пластинке [54]

Здесь момент инерции поперечного сечения пластинки.

В данном случае формулы (2.12) примут вид

Таким же путем, как и раньше, найдем

Из выражения (2.10) после интегрирования будем иметь

где

Рис. 2.4

Формула для вычисления напряжений его получается такой:

Для точек имеем [54]

На рис. 2.4 приведены графики, аналогичные изображенным на рис. 2.3.

Задача для произвольного расположения в пластинке эллиптического отверстия решена методом рядов С. Г. Лехницким [54] и методом, основанным на использовании формулы Шварца, — Г. Н. Савиным [77].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление