Главная > Разное > Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава II. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИНКИ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ

§ 1. Построение решения

Рассмотрим пластинку, ослабленную эллиптическим отверстием, полуоси которого значительно меньше других линейных размеров пластинки. При этом внешний контур пластинки удален от отверстия настолько, что последнее не оказывает существенного влияния на ее напряженное состояние вблизи контура. Такую пластинку принято называть бесконечной.

Рис. 2.1

К точкам контура отверстия приложены внешние усилия (рис. 2.1). Главный вектор и главный момент внешних усилий примем равными нулю.

Для определения напряженного состояния такой пластинки необходимо из граничных условий (1.52) найти функции через которые напряжения, возникающие в пластинке, выразятся по формулам (1.43).

Представим граничные условия (1.52) в следующем виде:

Здесь и в дальнейшем принято, что значение индекса при равно единице.

Граничные условия можно представить в такой форме:

где

Функции определены в областях которые получаются из заданной области 5 аффинными преобразованиями (1.54). При этом эллиптическому контуру в областях соответствуют некоторые эллипсы

получающиеся из растяжением (сжатием) и поворотом относительно осей. На рис. 2.2 [77] показаны формы эллипсов в областях

Отобразим конформно внешность единичного круга у на внешности эллипсов Отображающие функции соответственно имеют следующий вид [54]:

Рис. 2.2

Рассмотрим произвольную точку находящуюся на эллипсе (рис. 2.2, а). Ее аффико обозначим через

где а — аффикс точки на контуре единичной окружности. Поэтому При аффинном преобразовании (1.54) точка А в областях перейдет в точки (рис. Аффиксы точек на основании формул (1.54) и (2.4) будут такими:

Здесь учтено, что для точек контура эллипса

При использовании конформных отображений (2.3) аффиксы точек будут иметь вид

Сравнивая между собой выражения (2.5) и (2.7), видим, что точкам контуров , находящимся в

аффинном соответствии, на контуре 7 соответствует одна точка. Поэтому

Граничные условия (2.1) примут вид

Умножим обе части граничного условия (2.9) на и проинтегрируем по контуру 7. Будем иметь

При вычислении интегралов типа Коши были использованы основные правила, описанные в монографии Н. И. Мусхелишвили [70].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление