Главная > Разное > Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Вид комплексных потенциалов для многосвязных областей

При учете объемных сил основную систему уравнений плоской теории упругости удобно выписывать в напряжениях. Эта система будет состоять из уравнений (1.1) и (1.55). Уравнение (1.55) получается при подстановке соотношения (1.2) в условие совместности (1.7):

Уравнения (1.1) запишем так:

Решение неоднородной системы (1.55), (1.56) обычно ищут в виде

Здесь функции представляют собой какое-нибудь частное решение рассматриваемой неоднородной системы, а общее решение соответствующей однородной системы. Напряжения и соответствующие им перемещения находятся по заданным функциям Напряжения выражаются через комплексные потенциалы С. Г. Лехницкого по формулам (1.43), а соответствующие им перемещения по формулам (1.51).

Рис. 1.3.

Выясним характер многозначности комплексных потенциалов для анизотропной пластинки с отверстиями, рассмотренной в § 1.

Проведем в пластинке около контура другой произвольный контур целиком охватывающий (рис. 1.3). Часть пластинки ограниченная данными контурами, должна находиться в равновесии. Уравнения равновесия этой части пластинки будут такими:

Здесь составляющие главного вектора внешних усилий, действующих на контуре главный момент этих усилий; проекции на оси координат х и у внутренних усилий, действующих на контуре (они связаны с напряжениями, возникающими в этих точках, соотношениями (1.4); координаты точки, находящейся внутри контура

Контурные интегралы, входящие в уравнения (1.58), представим так:

где

Здесь для направляющих косинусов учтены формулы (1.14).

Напряжения удовлетворяют уравнениям (1.56). Поэтому двойные интегралы, входящие в эти уравнения, можно представить в виде

На основании формулы Грина будем иметь

Подставим выражения (1.61) и (1.63) в уравнения (1.58). Получим

Здесь

При этом

Выражения (1.66) можно понимать как составляющие главного вектора фиктивных усилий, вызванных напряжениями которые представляют собой частное решение системы (1.55), (1.56).

Так как напряжения выражаются через комплексные потенциалы то соотношения (1.64) на основании формул (1.43) можно представить так:

Обозначим через приращения функций при полных обходах контуров в положительных направлениях.

Тогда для определения из формул (1.67), в левых частях которых выписаны полные дифференциалы функций получим следующие уравнения:

Из условия однозначности перемещений следует, что их приращения при полном обходе по контурам равны нулю.

Перемещения соответствующие частному решению уравнений (1.55), (1.56), при полном обходе по контуру не изменяются. Остаются без изменения также перемещения Поэтому на основании формул (1.51) получим

Подставим в уравнения из соотношений (1.46). Учитывая равенства (1.68), получаем

Для неравных параметров определитель системы (1.68), (1.70) отличен от нуля [54]. Поэтому алгебраическая система (1.70) имеет единственное решение. Пусть

Тогда функции можно представить так:

Здесь — функции, голоморфные в областях произвольные точки внутри контуров Постоянные коэффициенты определяются из алгебраической системы, которая получается при подстановке выражений (1.71) в уравнения (1.68) и (1.70):

Условия однозначности напряжений будут выполнены, так как из выражений (1.72) следует, что функции через которые по формулам (1.43) выражаются напряжения, в областях являются голоморфными.

Если объемные силы при решении конкретных задач не учитываются, то Для этого случая формулы (1.72) и (1.73) впервые были получены С. Г. Лехницким [54].

Рассмотрим уравнения равновесия (1.59). Пусть

где

Учитывая, что напряжения выражаются через комплексные потенциалы по формулам (1.43), соотношение (1.75) преобразуем так:

Проинтегрировав выражение (1.76) по частям, получим

Здесь приращение функции

которое она получает при полном обходе по контуру

Пусть вычет функции относительно точки В этом случае после интегрирования выражения (1.72) получим

где функция, голоморфная в области

Из представления функции (1.79) следует, что введенные ранее приращения имеют вид

Подставим выражения (1.78) и (1.80) в формулу (1.77). После простых преобразований получим

Выражение двойного интеграла, входящего в уравнений равновесия (1.59), аналогичным образом можно привести к виду

Здесь

При получении соотношения (1.82) были использованы тождества

и произведен переход к контурным интегралам по формуле Грина.

Учитывая выражение (1.81), на основании представлений функций (1.75) и (1.82) из формулы (1.69) получаем

Следовательно, вычеты функций входящих в представления (1.72), не являются произвольными. Они связаны соотношением (1.85), что необходимо учитывать при решении конкретных задач.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление