Главная > Разное > Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава X. КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ, ОСЛАБЛЕННЫХ ПРОДОЛЬНЫМИ ПОЛОСТЯМИ

§ 1. Постановка задачи. Построение решения

Рассмотрим эллиптический ортотропный стержень, ослабленный эллиптическими полостями. Стержень закручивается усилиями, приложенными к его торцам. Эти усилия приводятся к скручивающему стержень моменту (рис. 10.1). Объемными силами будем пренебрегать.

В поперечном сечении стержня полуоси внешнего эллипса равны а полуоси внутренних — Расстояния от центра внешнего эллипса до центров внутренних равны Контур внешнего эллипса обозначим

через а внутренних — через Область поперечного сечения стержня, ограниченную контурами обозначим через 5.

Решение задачи о напряженном состоянии данного стержня проведем полуобратным методом Сен-Венана. Будем предполагать, что не равны нулю только напряжения и . Тогда из первых двух уравнений равновесия (9.5) получим

а третье уравнение (9.5) примет вид

Уравнения закона Гука будут такими [551:

Рис. 10.1

В связи с этим все уравнения совместности Сен-Венана, кроме двух, удовлетворяются. Последние же имеют вид

Отсюда при учете уравнений (10.3) следует, что

где константа, называемая круткой (угол закручивания на единицу длины стержня).

Введем функцию напряжений положив

В этом случае уравнение (10.2) будет удовлетворено, а (10.5) примет вид

На боковых поверхностях стержня внешние усилия отсутствуют. Следовательно,

Подставим в уравнение (10.8) выражения (1.14) и (10.6) и проведем интегрирование. Тогда для функции удовлетворяющей уравнению (10.7), получим следующее граничное условие:

Константу можно положить равной нулю, значения всех других определяются в процессе построения решения задачи.

Граничным условиям на торцах стержня удовлетворим интегрально с точностью до принципа Сен-Венана. Эти условия имеют следующий вид:

Здесь интегрирование ведется по площади поперечного сечения стержня.

Подставим выражения (10.6) в граничные условия (10.10) и применим формулу Остроградского — Грина. При этом первые два условия (10.10) удовлетворяются тождественно, а третье становится таким:

где площадь фигуры, ограниченной контуром

Решение задачи о кручении ортотропного стержня можно свести к решению аналогичной задачи для изотропного стержня с другим поперечным сечением. Введем новые переменные

где

Тогда уравнение (10.7) примет такой вид:

Уравнения, подобные (10.13), имеют место в задачах о кручении изотропных стержней.

При преобразованиях (10.12) эллиптический стержень останется эллиптическим. В его поперечном сечении горизонтальная ось не изменяется, а вертикальная увеличивается или уменьшается в зависимости от значения коэффициента (3, характеризующего анизотропию стержня. То же самое происходит и с эллиптическими полостями, ослабляющими стержень, однако их оси в поперечном сечении стержня могут поворачиваться и менять свои длины.

После определения в преобразованной области функции напряжения, возникающие в рассматриваемом ортотропном стержне, находятся по формулам

Одновременно можно вычислить напряжения в изотропном стержне, форма которого определяется преобразованиями (10.12). Для этого воспользуемся формулами

Из выражений (10.14) и (10.15) следует, что

При этом было учтено, что напряжения пропорциональны величинам в силу линейности уравнения (10.13).

Для определения жесткости ортотропного стержня, учитывая выражения (10.12) и (10.16), переписываем третье условие (10.10). Получаем

Здесь интегрирование ведется по области полученной из области при использовании преобразований (10.12).

Из формулы (10.17) получаем

где жесткость изотропного стержня, имеющего поперечное сечение

Таким образом, возникла возможность вначале решить задачу о кручении изотропного стержня с поперечным

чением и найти возникающие в нем напряжения а следовательно, и функции Тогда напряжения в рассматриваемом ортотропном стержне можно определить по формулам

Этот подход позволяет известные решения для изотропного стержня использовать при изучении напряжений в ортотропном стержне, поперечное сечение которого получается на основании аффинных преобразований (10.12). Пусть функция

При этом уравнение (10.13) принимает вид

Введем комплексную переменную и ей сопряженную Тогда Поэтому оператор Колосова оператор, ему сопряженный, оператор Лапласа В связи с этим уравнение (10.21) станет таким:

Частное решение уравнения (10.22) принимает вид Общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (10.22), выражается следующим образом: где аналитическая функция комплексного переменного Следовательно,

Из формул (10.15), (10.16) и (10.20) видно, что

Отсюда получим

Определение функции проводится из граничных условий (10.9), которые на основании формул (10.20) и (10.23) становятся такими:

Здесь — аффикс точки на одном из контуров поперечного сечения стержня; произвольные постоянные, не влияющие на его напряженное состояние. В дальнейшем они не определяются.

Для вычисления напряжений, возникающих в ортотропном стержне, следует использовать формулы (10.19) и

Если произвольную аналитическую функцию представить в виде

граничные условия (10.26) примут форму, полученную Н. И. Мусхелишвили [70]:

При этом зависимости (10.25) выразятся так:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление