Главная > Разное > Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Изгиб кусочно-однородной плиты с эллиптическими границами

Рассмотрим упругое равновесие кусочно-однородной плиты, которая изготовлена из двух различных анизотропных материалов. Каждая часть плиты представляет собой кольцо, ограниченное эллиптическими контурами. Одно из этих колец без предварительного натяжения вклеено или впаяно в другое. Ширина каждого кольца настолько велика, что для описания его напряженно-деформированного состояния можно применить прикладную теорию изгиба тонких плит.

Рис. 9.17

Центры всех контурных эллипсов совпадают с началом координат, а оси симметрии направлены по осям декартовых координат (рис. 9.17).

Введем следующие обозначения: внешний контур; контур спая; внутренний контур плиты; область между контурами область между контурами полуоси соответственно внешнего и внутреннего контуров кольца.

Плита изгибается моментами равномерно распределенными по внешнему контуру; край отверстия жестко защемлен.

Величины, относящиеся к области будем обозначать индексом

Функции прогибов в областях должны удовлетворять дифференциальным уравнениям

Краевые условия записываются так: на загруженном внешнем контуре

на линии спая

на защемленном контуре отверстия

Общее решение каждого уравнения (9.140) выразим через комплексные потенциалы С. Г. Лехницкого:

Здесь произвольные аналитические функции обобщенных комплексных переменных Они определены в областях которые получаются из исходных областей аффинными преобразованиями

Будем считать, что комплексные параметры

являются различными в областях

После определения функций моменты и перерезывающие силы, возникающие в каждой однородной части плиты, можно вычислить по формулам (9.30), (9.31). При этом следует учитывать, что постоянные для каждой области имеют различные значения.

Краевые условия (9.141) — (9.143) преобразуем к граничным для искомых комплексных потенциалов. Получаем следующее: на внешнем контуре [25]

на линии спая

на контуре отверстия

Значения постоянных не влияют на прогиб и напряженное состояние плиты, что позволяет положить их равными нулю. Для того чтобы определить вещественную постоянную необходимо дополнительно потребовать выполнения условия однозначности функции прогиба при обходе возле контура

Из граничных условий можно определить только первые производные искомых комплексных потенциалов. Поэтому функции прогиба находятся с точностью до вещественных постоянных слагаемых. Для вычисления последних достаточно приравнять нулю прогиб в какой-либо одной точке защемленного контура и потребовать совпадения прогибов в произвольной точке линии спая.

В рассматриваемом случае функции являются голоморфными в областях Принимая во внимание силовую и геометрическую симметрию задачи, указанные функции представляем в виде

Здесь полиномы Фабера для областей, заключенных внутри эллипсов Кроме того, в выражении (9.150) учтено, что внешности единичных окружностей в плоскостях конформно отображаются на внешности

эллипсов с помощью функций

где

Поступая таким же образом, как и в § 4, находим представления граничных значений искомых потенциалов в следующем виде: на внешних контурах

на внутренних контурах

При

Коэффициенты определяются по формулам (9.77) и (9.74), где величины следует заменить на и

Подставив выражения (9.153), (9.154) в граничные условия (9.147) — (9.149), методом рядов получим следующую бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для определения искомых коэффициентов [25]:

Здесь

В случае, когда обе однородные части плиты изготовлены из ортотропных материалов, у которых направления упругой симметрии параллельны осям геометрической симметрии плиты, число неизвестных постоянных коэффициентов в системе (9.156) можно сократить вдвое, так как здесь имеют место зависимости

кроме того, постоянная С оказывается равной нулю.

Подкрепление отверстия упругим кольцом приводит к значительному снижению концентрации напряжений по сравнению со случаями, когда в отверстие внешнего кольца впаяно жесткое кольцо или же когда это отверстие свободно от внешних усилий.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление