Главная > Разное > Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Действие сосредоточенных нагрузок

В инженерных сооружениях наиболее часто встречаются плиты конечных размеров, находящиеся в состоянии изгиба под действием нагрузок, распределенных по их малым участкам. Если рассматривать напряженно-деформированное состояние плиты вдали от малых зон загружения, то, согласно принципу Сен-Венана, указанные

нагрузки можно заменить соответствующими сосредоточенными силами и моментами, что позволяет существенно упростить решение поставленной задачи.

Изгиб эллиптической плиты с эллиптическим отверстием

Внешний край эллиптической плиты жестко защемлен, а контур эллиптического отверстия свободен от усилий. В произвольной точке плиты действуют сосредоточенные силы и момент, составляющие которого равны

Функции в данном случае, согласно выражению (9.33), представим так:

Здесь точки областей соответствующие точке Функции связаны с зависимостями (9.60). Полиномы Фабера выражаются через по формуле (9.70). Коэффициенты удовлетворяют системе уравнений (9.34), если в них положить

Граничные условия для функций на контурах имеют вид (9.85) и (9.65), где

На контурах граничные значения функций на основании представлений (9.75) и (9.78) запишем следующим образом:

где

Анализ структуры функций (9.125) показывает, что ряды для функций сходятся значительно медленнее,

чем для функций Назовем поэтому функции У главными частями функций Для получения эффективного решения необходимо указанные главные части определить целиком, обрывая быстро сходящиеся ряды для функций

Логарифмические члены искомых функций на контурах можно представить так:

где

В выражениях (9.129)

комплексные постоянные, которые определяются через аффиксы точек в плоскостях соответствующих точкам при отображениях (9.60) и (9.68):

Функции (9.128) можно записать так:

где граничные значения функций, голоморфных соответственно в областях внутри и вне

единичной окружности. Они имеют вид

Учитывая представления (9.125) и (9.132), из граничных условий (9.65) и (9.85) методом интегралов типа Коши получаем

Здесь

На основании представления (9.126) из выражений (9.134) для определения коэффициентов получим бесконечную алгебраическую систему в виде (9.80), где величины находятся по формулам (9.97), а

Уравнения для определения постоянных получаем непосредственно из граничных условий (9.65) и (9.85), приравнивая коэффициенты, не содержащие а:

При исследовании концентрации напряжений наибольший интерес представляет определение моментов и перерезывающих сил вблизи краев плиты. В этом случае функции следует представлять конечными суммами, а главные части искомых функций необходимо определять целиком из соотношений (9.134). Этот прием наиболее эффективен в случае действия сосредоточенных нагрузок вблизи контуров когда модули малых параметров близки к единице и вследствие этого модули искомых коэффициентов убывают весьма медленно.

Изгиб эллиптической плиты с двумя эллиптическими отверстиями

Пусть плита ослаблена двумя одинаковыми эллиптическими отверстиями, а сосредоточенная сила приложена в ее центре (рис. 9.16).

Функции представим так:

где выражение имеет вид разложений (9.107).

Граничные условия на контурах отверстий возьмем в виде (9.65), а на внешнем контуре плиты — в виде (9.85). При этом положим

Постоянные находятся из системы (9.90), где следует принять

Коэффициенты удовлетворяют соответственно системе (9.114). При этом постоянные выражаются соотношениями (9.116) и (9.100), а величины

находятся по следующим формулам:

где

Рис. 9.16

На рис. 9.16 показано распределение момента по контуру правого отверстия при Замена круговых контуров эллиптическими приводит к снижению максимального значения изгибающего момента вблизи контура отверстия. При сближении отверстий концентрация напряжений в плите увеличивается.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление