Главная > Разное > Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Изгиб эллиптической плиты с двумя одинаковыми эллиптическими отверстиями

Действие изгибающих моментов, приложенных к внешнему контуру

Эллиптическая плита ослаблена двумя одинаковыми эллиптическими отверстиями, большие оси которых лежат на большой оси внешнего эллипса (рис. 9.12).

Плита деформируется под действием моментов равномерно распределенных по ее внешнему контуру. Полуоси внутренних эллипсов обозначим через а внешнего через

Граничные условия на всех контурах имеют вид (9.65), причем для внутренних контуров а для внешнего они могут быть взяты из выражений (9.66).

В силу геометрической и силовой симметрии функции учитывая соотношения (4.4), представляем так:

Коэффициенты определяются из граничных условий на контурах На контуре граничные условия будут удовлетворены автоматически.

Рис. 9.12

Функции являются голоморфными в областях вне контуров включая их собственные точки.

Отобразим конформно внутренности единичных кругов, ограниченных контурами на области вне эллипсов Тогда функции будут голоморфными в единичных кругах Разложим эти функции в ряды Маклорена. Будем иметь

где

Учитывая полученные разложения, а также то, что на контурах функции с, а полиномы Фабера получаем следующие граничные значения функции на контурах

Рассмотрим представление этих же функций на контурах

Функции являются голоморфными внутри

эллипсов Разложим эти функции внутри указанных областей в ряды по полиномам Фабера. Получим

Коэффициенты определяются так [391:

Отобразим конформно области вне единичных кругов на области вне эллипсов Отображающие функции имеют вид (4.4). На единичных окружностях В связи с этим на контурах

Зная представления (9.110) и (9.113), из граничных условий на контурах и таким же путем, как и раньше, получаем для определения коэффициентов следующую бесконечную систему:

Здесь

Коэффициенты определяются по формулам

Графики, изображенные на рис. 9.12, относятся к случаям эллиптической и круглой плит На графиках показано изменение моментов действующих вблизи правого отверстия.

При сближении отверстий концентрация напряжений возрастает в зоне между контурами и незначительно изменяется в областях, удаленных от этой зоны.

При удалении отверстий друг от друга их взаимное влияние на напряженное состояние плиты уменьшается и становится незначительным, когда расстояние между отверстиями превышает диаметр одного из них более чем в два раза. В этом случае при исследовании напряженного состояния плиты вблизи каждого из отверстий ее можно рассматривать как двухсвязную, т. е. ослабленную одним внецентренным отверстием.

Действие изгибающих моментов, приложенных к контурам отверстий

Пусть плита жестко защемлена по внешнему контуру. Ее изгиб происходит в результате действия изгибающих моментов интенсивности равномерно распределенных по контурам отверстий (рис. 9.13).

Представления для функций остаются в виде разложений (9.107).

Граничные условия на внутренних контурах имеют такой же вид, как и на внешнем контуре, т. е. (9.85), где

Коэффициенты удовлетворяют алгебраической системе (9.114). При этом

Правые части системы (9.114) имеют вид соотношений (9.96).

Графики, изображенные на рис. 9.13, отражают распре деление моментов по контуру правого отверстия в плите, размеры которой такие же, как и плиты, рассмотренной в предыдущей задаче.

Рис. 9.13 (см. скан)

Если расстояние между отверстиями превышает диаметр одного из них в полтора раза, то взаимным влиянием отверстий на напряженное состояние плиты вблизи каждого из них можно пренебречь.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление