Макеты страниц § 4. Изгиб эллиптической плиты с одним эллиптическим отверстиемЧистый изгиб плитыПусть эллиптическая анизотропная плита ослаблена одним эллиптическим отверстием. Внешний контур плиты обозначим через В рассматриваемой задаче изгиба плиты имеет место силовая и геометрическая симметрия. Поэтому для функций
Здесь
где
Полиномы Фабера
При этом следует иметь в виду, что
Рис. 9.4 (см. скан) Формула (9.62) легко выводится, если исходить из непосредственных представлений для полиномов Фабера [561:
Для определения коэффициентов внутреннем контурах плиты. При рассматриваемом загружении плиты на контуре Граничные условия (9.52) иногда целесообразно приводить к следующему виду:
Здесь
Значения Постоянную с, относящуюся к внешнему контуру плиты, можно положить равной нулю. Отобразим конформно область единичного круга на области вне эллипсов
Коэффициенты и Полиномы Фабера
Коэффициенты Использовав формулы (9.62) и (9.63), индукцией по
Здесь
Полиномы Фабера
Подставим выражения (9.72) и (9.73) в формулу (9.69). После ряда преобразований найдем
Индекс
Так как на контурах
Найдем теперь представления для функций Функции голоморфны в областях вне контуров
Как показал В. В. Меглинский [58],
Учитывая, что на контурах
Для получения бесконечной алгебраической системы, которой удовлетворяют коэффициенты и
Указанная бесконечная система получается такой:
Здесь (см. скан) Для определения вещественной постоянной с из условия однозначности прогиба плиты при обходе около контура получаем дополнительное уравнение
После нахождения из системы (9.80) коэффициентов На рис. 9.4 даны графики распределения моментов по контуру внутреннего отверстия для эллиптической плиты с эллиптическим отверстием, когда Сплошные линии графиков в этом и в двух последующих параграфах относятся к случаю, когда плита изготовлена из фанеры, для которой [54]
Пунктирные линии графиков относятся к случаю, когда плита изготовлена из СВАМа, для которого [1]
Численные исследования показали, что плиту с высокой степенью точности можно считать теоретически бесконечной и для определения ее напряженного состояния применять теорию односвязных плит, когда отношения Изгиб плиты с жестко защемленным внутренним контуромПусть внутренний контур рассматриваемой плиты жестко защемлен (рис. 9.5). При этом на внешнем контуре граничные условия имеют вид (9.65), а на внутреннем контуре условия (9.41) запишем так:
Здесь
Если плоские Грани плиты не загружены, то Для определения коэффициентов
Рис. 9.5 На рис. 9.5 представлены графики, показывающие изменение момента Из приведенных графиков видно, что анизотропия материала плиты оказывает существенное влияние как на характер распределения, так и на величины моментов, возникающих вблизи защемленного контура. Действие нормальных усилий на внешнем контуре, когда внутренний контур плиты жестко защемленРассмотрим случай, когда на внешнем контуре плиты действуют изгибающие ее нормальные усилия интенсивности Рис. 9.6 (см. скан) Вследствие геометрической и силовой симметрии главный момент усилий, приложенных к контуру
где
Коэффициенты
Граничные условия для определения коэффициентов
Здесь (см. скан) При (см. скан) Коэффициенты (см. скан) Алгебраическая система, которой удовлетворяют коэффициенты (см. скан) Выражения для постоянной с и коэффициентов Если внешний контур является круговым, то На рис. 9.6 показано распределение изгибающих моментов В данной задаче анизотропия материала плиты оказывает существенное влияние на характер распределения прогибов, моментов и перерезывающих сил. Максимальные напряжения получаются в точках внутреннего контура. При увеличении отношения диаметра плиты к диаметру защемленного отверстия значительно увеличиваются как прогибы, так и напряжения. Распределение напряжений в круглой плите получается более равномерным, чем в эллиптической. Действие изгибающих моментов, приложенных к внутреннему контуру плитыПусть внешний контур плиты жестко защемлен, а к внутреннему приложены равномерно распределенные моменты интенсивности
Рис. 9.7 Представления для функций Бесконечная система для определения коэффициентов
На рис. 9.7 показано распределение моментов Если внешний контур находится вдали от внутреннего, то плиту можно считать теоретически бесконечной и рассматривать как односвязную. Расстояние между контурами, при котором справедливо это допущение, существенно зависит от анизотропии материала плиты. Замена внутреннего кругового контура эллиптическим приводит к значительному увеличению концентрации напряжений в точках, лежащих на концах большой оси эллипса, что объясняется увеличением кривизны контура в этих точках. Изгиб плиты с жестким ядром, к которому приложены, внешние усилияРассмотрим эллиптическую плиту с эллиптическим отверстием, в которое вклеено или впаяно абсолютно жесткое ядро. Внешний контур плиты жестко защемлен. К ядру приложены усилия, главный вектор которых, равен Функции Алгебраическая система, которой удовлетворяют коэффициенты
Графики, представленные на рис. 9.8, относятся к случаям, когда плита является эллиптической
Рис. 9.8 В фанерной плите максимальный прогиб получается значительно большим, чем в плите, изготовленной из СВАМа. С увеличением отношения радиуса плиты к радиусу отверстия максимальный прогиб значительно возрастает, в то время как напряжения увеличиваются медленно. При замене круглого ядра эллиптическим происходит увеличение как максимального прогиба, так и напряжений. Изгиб плиты с жестким ядром под действием равномерно распределенной нагрузкиПусть плита изгибается под действием нормальной нагрузки интенсивности Представления (9.89) для функций
Рис. 9.9 В качестве
Система (9.34), из которой определяются постоянные
Коэффициенты (см. скан) Значения постоянных приведены в формулах (9.96). Максимальные изгибающие моменты возникают на внешнем контуре плиты. На рис. 9.9 даны графики изменения этих моментов. Максимальный прогиб в круглой плите с круглым ядром имеет место в точках внутреннего защемленного контура. Если же одна из границ плиты является эллиптической, то максимальный прогиб получается либо в точках внутреннего контура Изгиб плиты со «свободно ведомым краем» под действием равномерно распределенной нагрузкиПусть плита жестко защемлена по краям, но внешний ее контур может жестко перемещаться в направлении, нормальном срединной плоскости плиты. Плита по-прежнему изгибается под действием нормальной нагрузки интенсивности
Рис. 9.10 В силу геометрической и силовой симметрии главный момент усилий, приложенных к контуру
Для функций Графики, показы; ающие изменения моментов Максимальные изгибающие моменты и перерезывающие силы получаются в точках внутреннего контура Максимальный прогиб получается либо в точках внешнего края плиты, либо в ее внутренних точках. Это зависит от формы эллиптических контуров и свойств материала плиты. Изгиб плиты под действием распределенной нагрузки, когда оба контура жестко защемленыПусть оба края плиты, рассмотренной в двух предыдущих задачах, жестко защемлены (рис. 9.11). Граничные условия (9.85) на контурах
Рис. 9.11 Для определения коэффициентов
Бесконечная система для определения коэффициентов с учетом того, что постоянные На рис. 9.11 изображены графики, характеризующие изменение моментов Анизотропия материала плиты оказывает сильное влияние на величины прогибов и перерезывающих сил. В меньшей степени это влияние отражается на распределении изгибающих моментов. Замена круговых контуров эллиптическими приводит к росту как максимального прогиба, так и напряжений в точках защемленных контуров. Эти величины также растут, особенно в точках внутреннего контура, и при увеличении отношения полуосей эллипсов
|
Оглавление
|