§ 4. Изгиб эллиптической плиты с одним эллиптическим отверстием

Чистый изгиб плиты

Пусть эллиптическая анизотропная плита ослаблена одним эллиптическим отверстием. Внешний контур плиты обозначим через а внутренний — через Полуоси внешнего и внутреннего эллипсов соответственно равны Центры эллипсов и их оси симметрии совпадают. По внешнему контуру равномерно распределены изгибающие моменты интенсивности а внутренний контур свободен от внешних усилий (рис. 9.4).

В рассматриваемой задаче изгиба плиты имеет место силовая и геометрическая симметрия. Поэтому для функций можно выбрать следующие представления:

Здесь полиномы Фабера для областей, заключенных внутри эллипсов полученных из эллипсов путем указанных выше аффинных преобразований; постоянные коэффициенты; функции связаны с неявными зависимостями вида

где

Полиномы Фабера выражаются через путем использования рекуррентной зависимости вида

При этом следует иметь в виду, что

Рис. 9.4 (см. скан)

Формула (9.62) легко выводится, если исходить из непосредственных представлений для полиномов Фабера [561:

Для определения коэффициентов и С воспользуемся граничными условиями (9.52) на внешнем и

внутреннем контурах плиты. При рассматриваемом загружении плиты на контуре функции равны нулю, на контуре константа, поэтому

Граничные условия (9.52) иногда целесообразно приводить к следующему виду:

Здесь

Значения получаются соответственно из если в выражениях (9.66) заменить на и наоборот.

Постоянную с, относящуюся к внешнему контуру плиты, можно положить равной нулю.

Отобразим конформно область единичного круга на области вне эллипсов Отображающие функции имеют вид

Коэффициенты и определяются по формулам (9.61), если в последних индекс 1 заменить на 0.

Полиномы Фабера где представляют собой функции, голоморфные в областях, ограниченных эллипсами Поэтому они будут голоморфными и в областях, ограниченных контурами включая их собственные точки. Полиномы можно разложить в ряды по полиномам Фабера построенным для этих областей. Получим

Коэффициенты будут определены ниже.

Использовав формулы (9.62) и (9.63), индукцией по можно установить справедливость следующего представления полиномов Фабера непосредственно через перемен

Здесь

Полиномы Фабера через переменные выражаются так:

Подставим выражения (9.72) и (9.73) в формулу (9.69). После ряда преобразований найдем

Индекс принимает значения если четное, и если нечетное; для всех других значений

Так как на контурах то, использовав разложения (9.69), будем иметь

Найдем теперь представления для функций на контурах

Функции голоморфны в областях вне контуров Следовательно, они будут голоморфными и вне контуров включая их собственные точки. Если функции рассматривать как функции, аргументов то они будут голоморфными в области единичного круга, где справедливо следующее разложение в ряд Маклорена:

Как показал В. В. Меглинский [58],

Учитывая, что на контурах находим

Для получения бесконечной алгебраической системы, которой удовлетворяют коэффициенты и нужно подставить поочередно выражения (9.75) и (9.78) в граничные условия (9.65) и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях а. Следует также иметь в виду, что на контурах

Указанная бесконечная система получается такой:

Здесь

(см. скан)

Для определения вещественной постоянной с из условия однозначности прогиба плиты при обходе около

контура получаем дополнительное уравнение

После нахождения из системы (9.80) коэффициентов становятся известными функции (9.59). Посредством этих функций моменты и перерезывающие силы, возникающие в плите, вычисляются по формулам (9.30) и (9.31), в которых величины с ноликами следует положить равными нулю.

На рис. 9.4 даны графики распределения моментов по контуру внутреннего отверстия для эллиптической плиты с эллиптическим отверстием, когда и для круглой плиты с круговым отверстием, когда

Сплошные линии графиков в этом и в двух последующих параграфах относятся к случаю, когда плита изготовлена из фанеры, для которой [54]

Пунктирные линии графиков относятся к случаю, когда плита изготовлена из СВАМа, для которого [1]

Численные исследования показали, что плиту с высокой степенью точности можно считать теоретически бесконечной и для определения ее напряженного состояния применять теорию односвязных плит, когда отношения или

Изгиб плиты с жестко защемленным внутренним контуром

Пусть внутренний контур рассматриваемой плиты жестко защемлен (рис. 9.5). При этом на внешнем контуре граничные условия имеют вид (9.65), а на внутреннем контуре условия (9.41) запишем так:

Здесь

Если плоские Грани плиты не загружены, то Это приводит к тому, что функции

Для определения коэффициентов входящих в выражения (9.59), из граничных условий (9.65), (9.85) получаем бесконечную алгебраическую систему в виде (9.80), где

Рис. 9.5

На рис. 9.5 представлены графики, показывающие изменение момента по защемленному контуру плиты. Если оба контура плиты эллиптические, то Для круглой кольцевой плиты считалось, что В задачах данного параграфа расчеты проводятся для этих параметров, если не будут введены новые их значения.

Из приведенных графиков видно, что анизотропия материала плиты оказывает существенное влияние как на характер распределения, так и на величины моментов, возникающих вблизи защемленного контура.

Действие нормальных усилий на внешнем контуре, когда внутренний контур плиты жестко защемлен

Рассмотрим случай, когда на внешнем контуре плиты действуют изгибающие ее нормальные усилия интенсивности а внутренний контур жестко защемлен (рис. 9.6).

Рис. 9.6 (см. скан)

Вследствие геометрической и силовой симметрии главный момент усилий, приложенных к контуру равен нулю, а главный вектор

где полный эллиптический интеграл второго эксцентриситет эллипса Искомые функции представим так:

Коэффициенты определяются из первых четырех, уравнений системы (9.34), в которой следует положить . Эти уравнения принимают следующий, вид:

Граничные условия для определения коэффициентов на контуре имеют вид (9.65), а на контуре При этом

Здесь

(см. скан)

При

(см. скан)

Коэффициенты находятся так:

(см. скан)

Алгебраическая система, которой удовлетворяют коэффициенты , получается в виде (9.80), где

(см. скан)

Выражения для постоянной с и коэффициентов имеют вид соотношений (9.87).

Если внешний контур является круговым, то В этом случае формулы (9.92) — (9.95) существенно упрощаются.

На рис. 9.6 показано распределение изгибающих моментов по контуру эллиптического и кругового отверстий.

В данной задаче анизотропия материала плиты оказывает существенное влияние на характер распределения прогибов, моментов и перерезывающих сил. Максимальные напряжения получаются в точках внутреннего контура. При увеличении отношения диаметра плиты к диаметру защемленного отверстия значительно увеличиваются как прогибы, так и напряжения.

Распределение напряжений в круглой плите получается более равномерным, чем в эллиптической.

Действие изгибающих моментов, приложенных к внутреннему контуру плиты

Пусть внешний контур плиты жестко защемлен, а к внутреннему приложены равномерно распределенные моменты интенсивности (рис. 9.7).

Рис. 9.7

Представления для функций возьмем в виде рядов (9.59). Граничные условия на внешнем контуре имеют вид (9.85), а на внутреннем — (9.65). Функции находятся из выражений (9.66).

Бесконечная система для определения коэффициентов принимает вид (9.80), где

На рис. 9.7 показано распределение моментов по контуру эллиптического и кругового отверстий.

Если внешний контур находится вдали от внутреннего, то плиту можно считать теоретически бесконечной и рассматривать как односвязную. Расстояние между контурами, при котором справедливо это допущение, существенно зависит от анизотропии материала плиты.

Замена внутреннего кругового контура эллиптическим приводит к значительному увеличению концентрации напряжений в точках, лежащих на концах большой оси эллипса, что объясняется увеличением кривизны контура в этих точках.

Изгиб плиты с жестким ядром, к которому приложены, внешние усилия

Рассмотрим эллиптическую плиту с эллиптическим отверстием, в которое вклеено или впаяно абсолютно жесткое ядро. Внешний контур плиты жестко защемлен. К ядру приложены усилия, главный вектор которых, равен а главный момент — нулю (рис. 9.8).

Функции будут иметь вид рядов (9.89). Коэффициенты можно определить из системы (9.90), где следует принять Граничные условия на обоих контурах имеют вид (9.85). При этом

Алгебраическая система, которой удовлетворяют коэффициенты получается в виде (9.80), где

Графики, представленные на рис. 9.8, относятся к случаям, когда плита является эллиптической и круглой

Рис. 9.8

В фанерной плите максимальный прогиб получается значительно большим, чем в плите, изготовленной из СВАМа. С увеличением отношения радиуса плиты к радиусу отверстия максимальный прогиб значительно возрастает, в то время как напряжения увеличиваются медленно.

При замене круглого ядра эллиптическим происходит увеличение как максимального прогиба, так и напряжений.

Изгиб плиты с жестким ядром под действием равномерно распределенной нагрузки

Пусть плита изгибается под действием нормальной нагрузки интенсивности равномерно распределенной по верхнему основанию плиты (рис. 9.9).

Представления (9.89) для функций остаются без изменений. Граничные условия на обоих контурах сохраняют вид (9.85). При этом

Рис. 9.9

В качестве можно, например, выбрать функцию

Система (9.34), из которой определяются постоянные в данном случае принимает вид

Коэффициенты находятся из системы (9.80), где постоянные величины выражаются соотношениями (9.99), а

(см. скан)

Значения постоянных приведены в формулах (9.96).

Максимальные изгибающие моменты возникают на внешнем контуре плиты. На рис. 9.9 даны графики изменения этих моментов.

Максимальный прогиб в круглой плите с круглым ядром имеет место в точках внутреннего защемленного контура. Если же одна из границ плиты является эллиптической, то максимальный прогиб получается либо в точках внутреннего контура либо в точках, лежащих между контурами, что зависит от материала плиты, а также от размеров и формы эллипсов

Изгиб плиты со «свободно ведомым краем» под действием равномерно распределенной нагрузки

Пусть плита жестко защемлена по краям, но внешний ее контур может жестко перемещаться в направлении, нормальном срединной плоскости плиты. Плита по-прежнему изгибается под действием нормальной нагрузки интенсивности равномерно распределенной по ее верхнему основанию (рис. 9.10).

Рис. 9.10

В силу геометрической и силовой симметрии главный момент усилий, приложенных к контуру равен нулю, а главный вектор определяется так:

Для функций следует взять представление (9.89). Граничные условия сохраняют вид (9.85). Постоянные определяются из соотношений (9.103), где значения следует соответственно заменить на Коэффициенты находятся из соотношений (9.80) и (9.104).

Графики, показы; ающие изменения моментов по внутреннему контуру плиты, представлены на рис. 9.10.

Максимальные изгибающие моменты и перерезывающие силы получаются в точках внутреннего контура Замена круговых контуров эллиптическими приводит к значительному увеличению напряжений в точках защемленных контуров.

Максимальный прогиб получается либо в точках внешнего края плиты, либо в ее внутренних точках. Это зависит от формы эллиптических контуров и свойств материала плиты.

Изгиб плиты под действием распределенной нагрузки, когда оба контура жестко защемлены

Пусть оба края плиты, рассмотренной в двух предыдущих задачах, жестко защемлены (рис. 9.11).

Граничные условия (9.85) на контурах и представления (9.89) для функций остаются без изменений.

Рис. 9.11

Для определения коэффициентов потребуем однозначности прогибов, их первых и вторых производных, а также равенства прогибов на внешнем и внутреннем контурах плиты. Тогда получим следующую алгебраическую систему:

Бесконечная система для определения коэффициентов имеет такой же вид, как и в предыдущей задаче,

с учетом того, что постоянные удовлетворяют системе Поскольку в выражение для прогиба входят неизвестные коффициенты системы уравнений (9.80) и (9.106) в данном случае необходимо решать совместно.

На рис. 9.11 изображены графики, характеризующие изменение моментов по внутреннему контуру плиты.

Анизотропия материала плиты оказывает сильное влияние на величины прогибов и перерезывающих сил. В меньшей степени это влияние отражается на распределении изгибающих моментов. Замена круговых контуров эллиптическими приводит к росту как максимального прогиба, так и напряжений в точках защемленных контуров. Эти величины также растут, особенно в точках внутреннего контура, и при увеличении отношения полуосей эллипсов