Главная > Разное > Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава IX. ИЗГИБ ПЛИТ, ОСЛАБЛЕННЫХ ОТВЕРСТИЯМИ

§ 1. Постановка задачи. Основные уравнения и граничные условия

Рассмотрим эллиптическую плиту с эллиптическими отверстиями (рис. 9.1, а). Плита, толщину которой обозначим через деформируется изгибающими усилиями, приложенными как к ее краям, так и к верхней грани. Края плиты, под которыми подразумеваются и внешний контур, и контуры отверстий, могут быть жестко защемлены, свободно оперты, свободны от внешних усилий или загружены изгибающими моментами либо перерезывающими силами (рис. 9.1, б).

Рис. 9.1

Будем предполагать, что в каждой точке плиты имеется плоскость упругой симметрии, параллельная срединной плоскости.

При построении приближенной теории изгиба тонких анизотропных плит были приняты следующие гипотезы Кирхгофа: 1) прямолинейные отрезки, нормальные к срединной плоскости плиты до ее деформации, остаются такими и после деформации;

2) напряжения возникающие в плите после ее загружения, пренебрежимо малы по сравнению с напряжениями

Первая гипотеза Кирхгофа позволяет выразить проекции перемещения через прогиб по формулам [54]

Зависимости (1.3) становятся такими:

На основании второй гипотезы Кирхгофа первое, второе и шестое уравнения закона Гука (остальные уравнения по приближенной теории выпадают из рассмотрения) принимают вид формул (1.2). Из этих уравнений, учитывая соотношения (9.2), находим [54]

Здесь

Объемными силами при рассмотрении изгиба плит бу-цем пренебрегать. В связи с этим уравнения равновесия примут вид

Подставим выражения (9.3) в первые два уравнения (9.5) и проинтегрируем их по учитывая, что при напряжения . Получим

Рис. 9.2

Рис. 9.3

В теории изгиба тонких плит вместо напряжений удобнее рассматривать суммарные величины в виде моментов и перерезывающих сил.

Изгибающие моменты возникающие от действия напряжений представляются так:

Скручивающие моменты

Перерезывающие силы

На рис. 9.2, 9.3 показано действие этих величин на основных площадках плиты.

Подставим выражения (9.3) и (9.6) в соответствующие формулы (9.7)-(9.9) и произведем интегрирование. Получим

Здесь

Сравнение формул (9.3) и (9.10) с учетом соотношений (9.12) приводит к следующим зависимостям:

Аналогичное сравнение формул (9.6) и (9.11) позволяет установить, что

Первые два уравнения равновесия (9.5) после подстановки в них выражений (9.13) и (9.14) дают следующие тождества:

Подставим выражения (9.6) в третье уравнение равновесия (9.5) и полученные соотношения проинтегрируем по Получим

Здесь произвольная функция, которую следует определить, учитывая, что на нижней грани плиты при напряжения а на верхней грани при В связи с этим имеем уравнения

Отсюда

Теперь выражение (9.16) примет вид

а уравнение (9.19) равносильно следующему:

Уравнение (9.21) на основании формул (9.11) станет таким:

После нахождения из уравнения (9.22) прогиба все величины, введенные для характеристики напряженно-деформированного состояния рассматриваемой плиты, будут определены.

Уравнение (9.22) нужно интегрировать при соответствующих граничных условиях. Если один из контуров плиты жестко защемлен, то для точек этого контура [54]

где нормаль к указанному контуру. Для свободно опертого контура

Для контура, свободного от внешних усилий,

Здесь дуга контура.

Для контура, загруженного изгибающими моментами интенсивности и заданными перерезывающими силами интенсивности

Введенные в граничные условия моменты и перерезывающие силы на площадке с нормалью выражаются через аналогичные величины, действующие на основных площадках, нормальных к осям х и у, по следующим формулам [541:

Значения можно выразить через прогиб если в формулы (9.27) подставить соответствующие представления (9.10) и (9.11).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление