Главная > Разное > Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Напряженное состояние пластинки с двумя упругими ядрами

Растяжение пластинки

Пусть в эллиптические отверстия пластинки, рассмотренной в § 1 гл. IV, вклеены или впаяны упругие ядра, изготовленные из другого анизотропного материала.

Функция напряжений соответствующая напряженному состоянию сплошной пластинки (4.1), имеет вид

Если жесткое перемещение всей пластинки отсутствует, то проекции вектора смещения получаются такими:

Функции будут иметь вид разложений (4.3), а функции характеризующие напряженное состояние правого ядра (в левом ядре, в силу симметрии, напряжения легко восстанавливаются), представим в виде рядов по полиномам Фабера, т. е.

Учитывая представление (4.26) из граничных условий (7.1) на контуре правого отверстия методом рядов получаем следующую бесконечную алгебраическую систему для определения коэффициентов и

Здесь

В точках спая пластинки с эллиптическим ядром наиболее интересно найти напряжения действующие на площадках, касательных и нормальных к контуру отверстия, в которое впаяно упругое ядро. Они определяются по формулам

где

Если ядра являются абсолютно жесткими, то бесконечная алгебраическая система для определения коэффициентов входящих в выражение (4.3), получается из двух последних соотношений системы (7.8) при Если же ядра являются абсолютно гибкими, т. е. отсутствуют, то аналогичная система получается из первых двух соотношений системы (7.8) при

Рис. 7.1

На рис. 7.1 приведены значения напряжений по контуру правого отверстия. Сплошные линии графиков относятся к случаю, когда пластинка изготовлена из фанеры а пунктирные — когда пластинка изготовлена из СВАМа При этом было принято, что а ядра изготовлены из материалов, для которых упругие постоянные пропорциональны соответствующим упругим постоянным материала пластинки, т. е. где X — коэффициент пропорциональности. На рис. 7.1 рассматривается случай, когда

На рис. 7.2 приведены графики, отражающие изменение максимальных напряжений в фанерной пластинке с круглыми ядрами в случае сближения последних.

При растяжении пластинки вдоль линии центров ядер их сближение не оказывает существенного влияния на концентрацию напряжений, если Если то это влияние становится существенным, когда расстояние между ядрами меньше диаметра одного из них. При взаимное влияние ядер на напряженное состояние пластинки проявляется даже тогда, когда расстояние между ними больше двух диаметров.

Если пластинка растягивается поперек линии центров ядер, то их взаимное влияние на концентрацию напряжений в пластинке становится существенным, когда расстояние между ядрами меньше диаметра одного из них, а

Замена круговых ядер эллиптическими приводит к

Рис. 7.2 (см. скан)

снижению концентрации напряжений при растяжении пластинки вдоль линии центров ядер и к увеличению концентрации — при растяжении поперек линии центров.

Чистый сдвиг пластинки

Ортотропная пластинка с двумя эллиптическими ядрами деформируется касательными усилиями интенсивности таким образом, как это показано на рис. 7.3. При действии этих усилий в сплошной однородной пластинке [54]

Коэффициенты и с входящие в разложения (4.3) и (7.7), в данном случае получаются чисто мнимыми. Представим их так:

Бесконечная алгебраическая система, которой удовлетворяют коэффициенты и имеет вид

Здесь

Рис. 7.3

Коэффициенты и получаются из выражений (7.9), если в последних формально заменить неизвестные на и

Величина представляет собой угол, на который поворачивается правое ядро. Эта величина определяется из условия равенства нулю момента усилий, действующих на ядро со стороны пластинки. Это условие приводит к выполнению следующего равенства:

На рис. 7.3 построены графики, аналогичные приведенным на рис. 7.1 для случая, когда пластинка деформируется

касательными усилиями. В фанерной пластинке концентрация напряжений получается большей, чем в пластинке, изготовленной из СВАМа.

При максимальное значение превышает максимальные значения Если же то максимальные значения каждого из компонентов напряжений существенно зависят от материала пластинки.

Чистый изгиб полосы

Имеем ортотропную полосу, ослабленную двумя эллиптическими отверстиями, в которые вклеены или впаяны ядра, изготовленные из другого ортотропного материала. Ширина полосы намного превосходит диаметр одного из отверстий, а сами отверстия значительно удалены от сторон полосы. Вдали от отверстий полоса деформируется усилиями, которые приводятся к изгибающим моментам (рис. 7.4).

Для сплошной однородной полосы [54]

Рис. 7.4

Напряжения, возникающие в полосе, будут нечетными функциями, что следует из физической и геометрической симметрии, имеющей место в рассматриваемой задаче. В связи с этим представления для функций и возьмем такими:

При этом следует учесть, что функции и связаны с зависимостями (4.4).

Система для определения коэффициентов остается в виде (7.13). Следует только иметь в виду, что в выражениях Кроме того, нужно принять

Угол поворота правого ядра определяется из уравнения (7.15).

На рис. 7.4 построены графики распределения напряжений в фанерной пластинке по контуру правого отверстия, заполненного упругим ядром. Сплошные, пунктирные и штрихпунктирные линии графиков соответствуют случаям, когда отверстия заполнены упругими абсолютно жесткими и абсолютно гибкими ядрами

При концентрация напряжений в полосе вблизи ядер незначительная. Напряжения в пластинке из СВАМа получаются несколько меньшими, чем в фанерной. Упругие ядра оказывают влияние на распределение напряжений в пластинке лишь в непосредственной близости от отверстий.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление