§ 6. Периодическая задача для полуплоскости с криволинейными отверстиями

Рассмотрим полуплоскость, ослабленную бесконечным рядом одинаковых криволинейных отверстий, центры которых лежат на прямой, параллельной границе полуплоскости Расстояние между центрами отверстий примем равным а между линией центров отверстий и прямолинейной границей — Отверстие, в центре которого находится начало координат, назовем основным. Обозначим его контур через а остальные — через

Внешние усилия на бесконечности создают однородное поле напряжений.

На контурах отверстий, ослабляющих полуплоскость, заданы либо внешние усилия, главные векторы которых равны нулю, либо равные нулю перемещения, что соответствует случаю подкрепления отверстий абсолютно жесткими кольцами.

В такой пластинке напряжения периодически меняются вдоль прямолинейной границы, причем период равен

Функции с помощью которых определяется напряженное состояние рассматриваемой полуплоскости, имеют вид соотношений (6.44), где индекс меняется от до

Функции голоморфные вне криволинейных отверстий представим так:

Переменные связаны с зависимостями

Функции определим методом Н. И. Мусхелишвили, удовлетворив граничным условиям (5.4) на контуре прямолинейной границы. Будем иметь

Здесь переменные связаны с следующими зависимостями:

Решение периодической задачи получается более простым способом, если в выражениях (6.61) и (6.63) выполняются следующие неравенства:

В этом случае выражения (6.60) и (6.62) можно разложить в сходящиеся ряды по малым параметрам Будем иметь

Здесь

При этом значения вычисляются по формулам (5.24).

Ряды (6.65) будут сходиться внутри круговых контуров, охватывающих основные контуры в областях

Учитывая соотношения (6.65), функции запишем в виде

где

Знак означает отсутствие в сумме слагаемого с индексом

Для отверстий, близко расположенных друг от друга, а также от прямолинейной границы, условия (6.64) могут не выполняться при некоторых значениях индекса (ем. § 5 гл. IV). Функции и с этими значениями индекса следует представлять в виде рядов по полиномам

Фабера внутри криволинейных контуров В этом случае

где полиномы Фабера, определяемые по формулам (5.8), а коэффициенты и вычисляются по формулам (5.9).

При этом коэффициенты примут вид

Знак означает, чтоб суммах отсутствуют слагаемые с индексом для которых не выполняются условия (6.64), максимальные значения этого индекса.

Учитывая соотношения (5.3), из граничных условий (5.4) на контуре где методом рядов получаем следующую бесконечную алгебраическую систему для определения коэффициентов

Здесь величины зависят от загружения основного контура а

После определения коэффициентов становятся известными функции Напряжения, возникающие в полуплоскости, находятся по формулам (1.43).

В качестве примера рассмотрим случай, когда полуплоскость ослаблена бесконечным рядом прямоугольных отверстий. Соотношение сторон Приведенная кривизна в угловых точках равна 15.

Полуплоскость растягивается усилиями приложенными на бесконечности, параллельно к границе полуплоскости. В этом случае выражения для функций а также для правых частей системы (6.61) будут такими же, как в соотношениях (6.54), (6.55).

Рис. 6.11

На рис. 6.11 изображены графики распределения напряжений вблизи контура основного отверстия для полуплоскости, изготовленной из фанеры. Сплошные линии соответствуют случаю, когда пунктирные — ; штрих-пунктирные

При сближении неподкрепленных отверстий с границей полуплоскости концентрация напряжений вблизи контуров увеличивается, когда расстояние между ними и границей полуплоскости меньше половины стороны а. В случае сближения подкрепленных отверстий с границей полуплоскости концентрация напряжений вблизи контуров изменяется незначительно.

Уменьшение расстояния между отверстиями ведет к снижению концентрации напряжений в случае неподкрепленных отверстий. Если же отверстия подкреплены абсолютно жесткими кольцами, то при их сближении наблюдается значительный рост концентрации напряжений.