Главная > Разное > Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Выражение функции напряжений через комплексные потенциалы С. Г. Лехницкого

Функция напряжений как это установлено в § 1, удовлетворяет неоднородному уравнению (1.10). Нахождение частного решения этого уравнения, зависящего от вида функции как правило, затруднений не представляет.

Найдем общее решение однородного уравнения

Следуя С. Г. Лехницкому [54], запишем уравнение (1.18) в операторной форме:

где операторы С. Г. Лехницкого. Они имеют вид

Здесь константы.

Подставим выражения (1.20) в уравнение (1.19) и проведем дифференцирование. Получим

Уравнения (1.18) и (1.21) будут совпадать, если

В этом случае согласно теореме Виета коэффициенты должны быть корнями алгебраического уравнения вида

С. Г. Лехницкий установил, что для реальных анизотропных материалов коэффициенты могут быть

либо комплексными, либо чисто мнимыми [53]. Рассмотрим случай, когда при

Коэффициенты уравнения (1.18) являются вещественными. Поэтому два из корней (1.24) будут комплексно сопряженными двум другим. Примем

Для получения общего решения уравнения (1.19) заменим его следующей системой:

Последнее уравнение системы (1.26) в развернутом виде выразится так:

Общее решение однородного уравнения (1.27) представляет собой произвольную функцию от первого интеграла характеристического уравнения

Проинтегрировав уравнение (1.28), получим первый интеграл

Следовательно,

В формуле (1.30) для удобства произвольная функция взята в виде третьей производной функции по переменной Учитывая формулу (1.30), из третьего уравнения системы (1.26) получаем

Решение неоднородного уравнения (1.31) будем искать в виде

где общее решение однородного уравнения

частное решение уравнения (1.31). Его выберем в следующем виде:

где А — постоянная величина.

Подставим выражение (1.33) в уравнение (1.31) и приравняем коэффициенты при произвольных функциях Тогда коэффициент А примет следующее значение:

Общее решение уравнения (1.32) находится так же, как и решение уравнения (1.27):

Таким образом,

Решение второго и первого уравнений (1.26) находится аналогичным образом:

Приняв новые обозначения, будем иметь

Аргументы являются обобщенными комплексными переменными.

Функцию напряжений с точностью до несущественной постоянной можно считать вещественной, так как через ее вторые производные выражаются напряжения, а через первые — перемещения, вещественные по физическому смыслу. Поэтому

Следовательно,

где

В областях изменения переменные являются обычными комплексными переменными.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление