Главная > Разное > Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Полуплоскость с конечным числом криволинейных отверстий

Пусть полуплоскость ослаблена криволинейными отверстиями. Будем считать, что контур задан уравнением (5.1). Тогда функции, отображающие внешность единичного круга на внешности контуров в областях определятся соотношениями (5.2), а связь между функциями — формулами (5.3).

Задача о напряженном состоянии такой полуплоскости приводится к определению функций комплексных переменных удовлетворяющих на контурах отверстий и прямолинейной границе условиям (5.4). Функции представим так:

Здесь функции, характеризующие напряженное состояние сплошной полуплоскости; функции, голоморфные в нижних полуплоскостях областей в областях вне контуров криволинейных отверстий. Функции можно представить в виде

Переменные связаны с неявными зависимостями (5.2).

Из граничных условий (5.4) на прямолинейной границе, где методом Н. И. Мусхелишвили найдем

Величины находятся по формулам (6.3), а переменные и связаны с следующими зависимостями:

где

Функции являются голоморфными внутри криволинейных контуров в областях Их можно разложить в ряды по полиномам Фабера для контуров Эти разложения получаются такими:

где полиномы Фабера имеют вид соотношений (5.8), а коэффициенты разложений в выражениях (6.49) вычисляются по формулам (5.9).

Функции станут такими:

Здесь

Знак означает отсутствие в сумме слагаемого с индексом

Из граничных условий (5.4) на контуре где учитывая соотношения (5.3), методом рядов получаем следующую алгебраическую систему для определения коэффициентов

Здесь

коэффициенты, зависящие от загружения контура

После нахождения коэффициентов функции становятся известными. Напряжения, возникающие в полуплоскости, определяются по формулам (1.43).

Растяжение полуплоскости, ослабленной криволинейным отверстием

Пусть полуплоскость, ослабленная криволинейным отверстием, растягивается усилиями приложенными на бесконечности параллельно к ее границе. В этом случае в соотношениях (6.5) нужно положить а коэффициенты считать равными нулю. Если принять, что для рассматриваемого загружения коэффициенты функций будут вещественными. Функции получаются такими:

где

Правые части системы (6.52) имеют вид

Здесь

На рис. 6.10 изображены графики, характеризующие распределение напряжений в случаях, когда полуплоскость ослаблена прямоугольным отверстием с соотношением сторон (рис. 6.10, а) (рис. 6.10, б) и (рис. 6.10, в).

Рис. 6.10

На рис. 6.10, а сплошные линии соответствуют расстоянию а, а на рис. 6.10, б, в — . Пунктирные линии показывают распределение напряжений, когда вместо полуплоскости рассматривается плоскость с таким же отверстием.

Влияние границы полуплоскости на ее напряженное состояние вблизи отверстия становится существенным, когда расстояние между границами меньше стороны отверстия. При сближении отверстия с границей полуплоскости напряжение сильно растет в точках перемычки вблизи отверстия. В случае, изображенном на рис. 6.10, а, концентрация напряжений при сближении отверстия с границей возрастает быстрее, чем в случаях, показанных на рис. 6.10, б, в.

Действие внутреннего давления

Если контур отверстия находится под действием внутреннего давления интенсивности а вдали от отверстия полуплоскость не загружена, то

Коэффициенты в этом случае можно определить из системы (6.52), где следует принять

Действие на контур отверстия внутреннего давления при сближении отверстия с границей полуплоскости вызывает более быстрый рост напряжений, чем растяжение пластинки.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление