Главная > Разное > Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Напряженное состояние полуплоскости с эллиптическим отверстием

Пусть полуплоскость ослаблена эллиптическим отверстием, близко расположенным к прямолинейной границе. Учитывая постановку задачи, изложенную в § 1, формулу (6.4) перепишем в виде

В областях будем иметь полуплоскости с эллиптическими отверстиями, центры которых находятся на расстоянии от прямолинейных границ. В связи с этим функции голоморфные в областях вне указанных эллиптических отверстий, представим так:

Переменные связаны с зависимостями вида

где

Формула (6.5) станет такой:

Зависимость переменных от имеет вид

где Кроме того, в формулах (6.9) считается, что

Функции являются голоморфными в областях внутри эллипсов В этих областях их можно разложить в ряды по полиномам Фабера:

где

При этом 7 обозначает контур единичной окружности в плоскостях изменения переменных

Будем считать, что на контур эллиптического отверстия действуют такие усилия, при которых функции входящие в граничные условия (1.52), могут быть представлены в виде следующих рядов:

Для определения коэффициентов из граничного условия (1.52) методом рядов получим следующую алгебраическую систему:

Здесь

Выражения получаются из уравнений (6.16), если в них формально положить

После определения из системы (6.15) коэффициентов станут известными функции (6.9), через которые по формулам (1.43) можно найти возникающие в полуплоскости напряжения.

Растяжение полуплоскости, ослабленной эллиптическим отверстием

Анизотропная полуплоскость с эллиптическим отверстием растягивается усилиями интенсивности параллельно ее границе (рис. 6.1).

В полуплоскости без отверстия напряжения имеют вид соотношений (2.11). При этом коэффициенты правых частей системы (6.15) выразятся так:

Если для рассматриваемого загружения полуплоскости комплексные параметры являются чисто мнимыми, то коэффициенты получаются вещественными.

Рис. 6.1

На рис. 6.1 сплошная линия графика показывает изменение напряжений по контуру кругового отверстия, когда наименьшее расстояние между границей полуплоскости и контуром отверстия равно одной четвертой его радиуса. Здесь и далее в этой главе считалось, что полуплоскость изготовлена из фанеры Пунктирная линия графика относится к случаю, когда полуплоскость заменяется плоскостью с тем же отверстием.

Численные расчеты показали, что влияние прямолинейной границы на величины и характер распределения напряжений наиболее существенно в том случае, когда расстояния между контурами в областях становятся меньше диаметра эллиптического отверстия. При сближении отверстия с границей полуплоскости наблюдается быстрый рост напряжений в зоне между границами. Этот рост является

более существенным в случае, когда параметр значительно превосходит единицу, а меньше единицы.

Действие внутреннего давления по контуру эллиптического отверстия

К контуру эллиптического отверстия, ослабляющего полуплоскость, приложено внутреннее давление интенсивности (рис. 6.2).

В данном случае в системе (6.15)

Графики, изображенные на рис. 6.2, аналогичны тем, которые приведены на рис. 6.1.

Рис. 6.2

Приближение отверстия к границе полуплоскости приводит к резкому увеличению концентрации напряжений вблизи начала координат. Это увеличение наиболее существенно при уменьшении отношения и когда значительно меньше единицы.

Действие касательных усилий, равномерно распределенных по контуру эллиптического отверстия

Пусть контур эллиптического отверстия находится под действием касательных усилий интенсивности (рис. 6.3). В этом случае правые части уравнений (6.15) принимают следующий вид:

а искомые коэффициенты являются чисто мнимыми.

Рис. 6.3

На рис. 6.3 приведены графики, аналогичные изображенным на рис. 6.1.

При сближении рассматриваемых границ происходит увеличение концентрации напряжений в зоне между контурами, за исключением точек, находящихся вблизи оси х.

Действие сосредоточенной силы на контуре эллиптического отверстия, ослабляющего полуплоскость

Пусть к контуру отверстия, ослабляющего полуплоскость, приложена сосредоточенная сила таким образом, как это показано на рис. 6.4.

Рис. 6.4

В отличие от рассмотренных случаев здесь главный вектор усилий, приложенных к контуру отверстия, отличен от нуля. В связи с этим функции которые нужно определить из граничных условий на контуре отверстия, имеют вид [21]

Коэффициенты находятся из условия однозначности напряжений и перемещений в рассматриваемой полуплоскости. Если то

С целью выделения особенностей функций в точках, соответствующих при аффинных преобразованиях точке приложения сосредоточенной силы, введем новые коэффициенты

Тогда функции (6.20) примут следующий вид:

Неизвестные коэффициенты через которые по формуле (6.22) выражаются коэффициенты определяются из системы (6.15), где следует принять

Здесь

Для получения коэффициентов а в формуле (6.24) следует произвести формальную замену на единицу.

На рис. 6.4 приведен график, характеризующий изменение напряжений сто по контуру кругового отверстия. При построении графика считалось, что наименьшее расстояние между контурами равно радиусу кругового отверстия.

Действие сосредоточенной силы приводит к тому, что при сближении границ происходит резкий рост концентрации напряжений в области между границами. Особенно большие напряжения возникают (кроме точки приложения сосредоточенной силы) в точках перемычки, близких к прямолинейной границе. Остальные закономерности изменения напряжений при сближении границ такие же, как и в случае действия внутреннего давления.

Действие сосредоточенной силы на границе полуплоскости

К границе полуплоскости, ослабленной эллиптическим отверстием, приложена нормальная сосредоточенная сила направленная вдоль оси эллипса (рис. 6.5).

Функции в данном случае примут вид [22]

Коэффициенты определяются из системы (6.15), где нужно положить

Здесь — коэффициенты, которые получаются при разложении функций в ряды по полиномам Фабера в областях, ограниченных эллипсами

Рис. 6.5

На рис. 6.5 изображен график, аналогичный приведенному на рис. 6.1.

В рассмотренном случае закономерности изменения напряжений при сближении границ получаются такими же, как и при действии сосредоточенной силы, приложенной к контуру эллиптического отверстия.

Весомая полуплоскость с эллиптическим отверстием

Рассмотрим полуплоскость, которая находится под действием собственного веса. Напряженное состояние сплошной полуплоскости считается таким:

Здесь плотность материала полуплоскости; ускорение силы тяжести; коэффициент бокового

распора Принято, что начало координат находится на границе полуплоскости, ось х направлена перпендикулярно границе, а ось у совмещена с ней.

После образования в весомой полуплоскости эллиптического отверстия с полуосями в ней возникнет второе поле напряжений, характеризуемое функциями Последние после удовлетворения граничным условиям на прямолинейной границе принимают вид (6.20). При этом коэффициенты определяются из алгебраической системы (1.74), где

Бесконечная алгебраическая система для определения коэффициентов запишется в виде (6.15). При этом следует учитывать, что

где

Коэффициенты и получаются при разложении функций в ряды по полиномам Фабера для эллипсов

Численные исследования показывают, что при сближении отверстия с границей полуплоскости концентрация напряжений возрастает быстрее, когда уменьшается отношение полуосей и увеличивается коэффициент бокового распора

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление