Главная > Разное > Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Двоякопериодическая задача для пластинки с криволинейными отверстиями

Пусть пластинка, рассмотренная в § 5 гл. IV, ослаблена криволинейными отверстиями (рис. 5.11, 5.12). Контур основного отверстия, заданный уравнениями (3.21), обозначим через

Представления для функций возьмем в виде выражений (4.50). Их можно записать следующим образом:

Здесь переменные связаны с неявными зависимостями (3.37), постоянные коэффициенты и определяются так:

где

коэффициенты находятся по формулам (4.57); постоянные вычисляются по рекуррентным соотношениям:

В случае, если разложение (4.54) невозможно, представления для функций следует взять в виде формул

Функции входящие в формулу (4.59), будут голоморфными в областях внутри основных отверстий, включая точки их контуров.

Рис. 5.11

Рис. 5.12

Поэтому вблизи границ основных отверстий указанные функции можно представить в виде разложений по полиномам Фабера

Получим

где коэффициенты вычисляются по формулам (5.23), в которых значения находятся из соотношений (4.63).

Алгебраическая система для определения коэффициентов получается такой:

Здесь — величины, зависящие от загружения пластинки, а

После нахождения коэффициентов напряжения, возникающие в пластинке, можно определить по формулам (2.16).

Если контур основного отверстия имеет две оси симметрии, совпадающие с координатными осями то функции будут нечетными и с действительными коэффициентами.

Алгебраическая система (5.27) в этом случае примет вид

В случае, когда пластинка растягивается на бесконечности усилиями интенсивности соответственно вдоль и поперек оси, значения определяются соотношениями (5.19).

Для получения различных видов решеток в расчетных формулах будут изменяться только значения входящие в выражения (5.23) и вычисляемые из соотношений (4.57). Если эти значения определить из соотношений

то получим периодическую задачу, т. е. задачу с одним бесконечным рядом отверстий, расположенных вдоль или поперек оси О.

Таблица 3 (см. скан)

Таблица 4 (см. скан)

Таблица 5 (см. скан)

В табл. 3—5 приведены значения напряжений действующих на площадках, нормальных к контуру основного отверстия, когда оно является квадратным если При этом считалось, что пластинка изготовлена из фанеры.

Табл. 3 соответствует случаю, когда решетка является треугольной: В табл. 4 приведены значения напряжений для квадратной решетки а в табл. 5 — для периодической задачи

Из табл. 4. видно, что в случае квадратной решетки при сближении отверстий концентрация напряжений сначала убывает, а затем начинает возрастать. В случае же треугольной решетки (табл. 3) сближение отверстий вызывает значительное уменьшение концентрации напряжений.

Если пластинка ослаблена одним бесконечным рядом квадратных отверстий (табл. 5), то при ее растяжении вдоль линии центров концентрация напряжений уменьшается, а при растяжении поперек линии центров — возрастает.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление