Главная > Разное > Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава V. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИНКИ С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ

§ 1. Напряженное состояние пластинки, ослабленной конечным числом криволинейных отверстий

Рассмотрим упругое равновесие пластинки, ослабленной криволинейными отверстиями.

Срединная плоскость пластинки занимает в плоскости бесконечную -связную область 5, ограниченную криволинейными контурами Будем считать, что все контуры являются замкнутыми, не имеют угловых точек, не пересекаются и не касаются друг друга (рис. 5.1).

Уравнения (3.21) для контура запишутся так:

аффикс центра контура.

Использовав метод, изложенный в § 2 гл. III, будем иметь следующие выражения для отображающих функций внешности единичного круга на внешности отверстий в областях

Соотношения (3.30), записанные для контура примут вид

Знание отображающих функций (5.2) и зависимостей (5.3) позволяет решить задачу о напряженном состоянии рассматриваемой пластинки.

Пусть на контурах отверстий, ослабляющих пластинку, заданы внешние усилия, главные векторы которых равны нулю. Некоторые контуры подкреплены жесткими кольцами. Внешние усилия могут действовать также вдали от отверстий. Будем считать, что эти усилия не приводят к повороту жестких ядер.

Рис. 5.1

Как указано в гл. I, задача определения напряженного состояния рассматриваемой пластинки сводится к нахождению комплексных потенциалов являющихся аналитическими в областях На границе областей т. е. на контурах эти функции должны удовлетворять граничным условиям (1.52) или (1.53), которые можно записать следующим образом:

Здесь когда на контурах заданы внешние усилия, и в случае подкрепления отверстий жесткими кольцами; функции, зависящие от заданных внешних усилий на контуре они равны нулю, если контур жестко подкреплен.

Функции будем искать в таком виде:

где функции, характеризующие напряженное состояние сплошной пластинки; функции, голоморфные в областях вне контуров и исчезающие на бесконечности. Функции можно представить так:

Переменные связаны с неявными зависимостями (5.2).

Функции являются голоморфными внутри областей, охваченных криволинейными контурами Их можно разложить в ряды по полиномам Фабера внутри этих областей [79]. Разложения примут вид

где полиномы Фабера, которые в областях изменения переменных представляются выражениями [79]

Постоянные определяются по формуле 179]

где полярный угол). В областях сходимости разложений (5.7) функции

Знак означает отсутствие в сумме слагаемого с индексом

Учитывая соотношения (5.3), из граничных условий (5.4) на контуре где методом рядов

получаем следующую бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для определения постоянных

Здесь известные величины, зависящие от загружения пластинки, а коэффициенты,

где

После определения коэффициентов напряжения, возникающие в пластинке, находятся по формулам (1.43).

Для точек контуров отверстий функции можно представить зависящими от переменных или а. В связи с: этим имеем

При вычислении напряжений в точках пластинки вне контуров следует иметь в виду, что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление