Главная > Разное > Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава I. ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ МНОГОСВЯЗНОЙ ПЛАСТИНКИ

§ 1. Постановка задачи. Основные уравнения

Рассмотрим пластинку постоянной толщины Пластинка ослаблена гладкими криволинейными отверстиями, контуры которых обозначим через любое целое число). Внешний контур пластинки также не имеет угловых точек. Толщина пластинки является малой величиной по сравнению с другими линейными размерами как самой пластинки, так и ее отверстий.

Пластинка изготовлена из однородного анизотропного материала; при этом в каждой ее точке имеется плоскость упругой симметрии, параллельная срединной плоскости.

Деформацию пластинки вызывают внешние усилия, действующие в плоскостях, параллельных ее основаниям, симметрично относительно срединной плоскости.

Решение задачи об определении напряженно-деформированного состояния такой пластинки, как известно [54], приводится к интегрированию двух уравнений равновесия плоской сплошной среды:

и трех уравнений закона Гука:

При этом учитываются следующие зависимости относительных деформаций от перемещений пластинки:

Все величины, входящие в выражения (1.1)-(1.3), являются средними по толщине пластинки.

На боковой поверхности пластинки задаются либо внешние усилия

где

либо перемещения

Компоненты тензора деформаций удовлетворяют следующему условию Совместности деформаций:

Условие (1.7) получается, если в выражениях (1.3) путем дифференцирования исключить перемещения

Для удовлетворения уравнениям (1.1) вводится функция напряжений Эри F, через которую напряжения выражаются так:

Здесь учтено, что объемные силы имеют потенциал В связи с этим

Подставим выражения (1.8) в уравнения (1.2), а последние — в (1.7). Тогда для функции получим следующее дифференциальное уравнение [54]:

Если в каждой точке пластинки имеются три взаимно ортогональные плоскости упругой симметрии, одна из которых параллельна срединной плоскости, то такая

пластинка является ортотропной. При совпадении осей координат х и у с направлениями, нормальными к плоскостям упругой симметрии (их называют главными направлениями упругости), упругие коэффициенты деформации принимают следующий вид:

Для изотропной пластинки

В этом случае уравнение (1.10) имеет вид

Определим граничные условия для функции исходя из условий (1.4).

Рис. 1.1

Будем считать, что направление обхода контуров пластинки осуществляется таким образом, что область пластинки остается слева (рис. 1.1). В этом случае

Подставим выражения (1.8) и (1.14) в граничные условия (1.4) и произведем интегрирование по дугам контуров пластинки. Получим

Здесь текущая точка любого рассматриваемого контура. Постоянные на напряженное состояние пластинки влияния не оказывают.

После нахождения функции осредненные по толщине напряжения можно определить по формулам (1.8), а напряжения принять равными нулю.

Решение граничных задач для уравнения (1.10) с учетом условий (1.6) или (1.15) позволит определить напряженно-деформированное состояние и бесконечного многосвязного цилиндра (плоская деформация). При этом в каждой точке цилиндра существует плоскость упругой симметрии, нормальная к его геометрической оси, а внешние усилия, приложенные к цилиндру, нормальны к образующей цилиндра и не меняются вдоль нее. В отличие от пластинки в цилиндре определяются не осредненные, а истинные напряжения и деформации. В уравнении (1.10) коэффициенты деформации заменяются на выражения для которых имеют вид [54]

Напряжения по-прежнему определяются по формулам (1.8); принимаются равными нулю, вычисляется из соотношения

При определении величин и уху для плоской деформации в формулах (1.2) коэффициенты следует заменить на а компоненты принять равными нулю.

Перемещения возникающие как в пластинке, так и в цилиндре, находятся из уравнений (1.3) путем их интегрирования, а перемещение в случае плоской деформации равно нулю.

Следовательно, решение задачи теории упругости для некоторой пластинки позволяет элементарным путем найти решение для соответствующего цилиндра. Поэтому в дальнейшем будем определять напряженное состояние только анизотропных пластинок.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление