Главная > Разное > Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Двоякопериодическая задача для пластинки с эллиптическими отверстиями

Если количество бесконечных рядов отверстий, ослабляющих пластинку, увеличить до бесконечности, то в ней возникнут напряжения, которые из физических соображений будут двоякопериодическими функциями.

Отнесем пластинку к декартовой системе координат, начало которой поместим в центре одного из эллиптических отверстий (его, как и раньше, будем называть основным), а ось х направим вдоль линии центров одного из бесконечных рядов отверстий.

В силу указанной периодичности

Здесь

основные периоды в направлении осей — произвольные целые числа.

На основании формулы Коши функции можно представить так:

где контуры отверстий в областях а — аффиксы точек этих контуров.

Основные отверстия в областях обозначим через а аффиксы точек основных контуров — через В связи с этим

где и основные периоды в областях

На основании соотношений (4.48) и (1.43) легко установить, что

Поэтому выражению (4.50) можно придать следующий вид:

Здесь функции, голоморфные вне основных отверстий.

Если то возможно разложение вида

Отобразим конформно внешность единичного круга у на внешности основных эллипсов в областях Отображающие функции имеют вид

На основании формул (4.54) и (4.55) функции (4.53) можно преобразовать к виду

где

Подставим выражения (4.56) в граничные условия (1.52). Учитывая, что на контуре приравняем в полученных выражениях коэффициенты при одинаковых степенях а. Тогда для определения коэффициентов получим следующую бесконечную алгебраическую систему:

Коэффициенты и зависят от загружения пластинки.

Бесконечная система (4.58) является квазирегулярной при любой близости рассматриваемых отверстий [34]. В связи с этим для ее решения можно использовать метод редукции.

После определения из системы (4.58) коэффициентов станут известными функции (4.56), посредством которых по формулам (1.43) можно найти напряжения.

Если отверстия расположены близко друг от друга, то условие может не выполняться для тип, абсолютные значения которых не превышают величин заранее известных чисел В этом случае функции следует представить в таком виде:

Знак означает, что в сумме отсутствуют слагаемые, для которых —

Функции голоморфны вне контуров и исчезают на бесконечности. Поэтому их можно представить в виде

В то же время функции являются голоморфными внутри основных контуров включая их собственные точки. Поэтому эти функции можно разложить в ряды следующего вида:

где полиномы Фабера, построенные для областей внутри эллипсов

Рис. 4.8

Рис. 4.9

Коэффициенты входящие в систему (4.58), примут

При этом коэффициенты вычисляются по формуле

Если пластинка растягивается на бесконечности усилиями соответственно вдоль и поперек оси то правые части системы (4.58) будут такими:

При этом

На рис. 4.8, 4.9 приведены графики изменения по контуру основного отверстия, когда оно является круговым Сплошные линии графиков относятся к случаю, когда а пунктирные — к случаю, когда пластинка ослаблена одним отверстием. Пластинка изготовлена из фанеры

Таблица 2 (см. скан)

При сближении отверстий концентрация напряжений в тчале убывает, затем возрастает (табл. 2).

Для слабоанизотропного материала концентрация напряжений оказалась меньшей, чем для сильноанизотропного.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление