Главная > Разное > Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Растяжение пластинки с двумя бесконечными рядами эллиптических отверстий

Пусть ортотропная пластинка ослаблена двумя параллельными рядами одинаковых эллиптических отверстий. Расстояния между центрами отверстий в каждом ряду одинаковы и равны а между линиями центров указанных рядов (а — вещественный коэффициент).

Учитывая геометрическую и силовую симметрию, имеющую место в данной задаче, представления для функции берем такими:

Здесь связаны с неявными зависимостями вида

Коэффициенты определяются из граничных условий на контуре одного из отверстий, называемого основным. Пусть его центр имеет координаты Выделим в разложении (4.36) функции, голоморфные в областях вне эллипсов, полученных из основного путем аффинных преобразований (1.54). Будем иметь

Двойная сумма в выражении (4.38) зависит от малого параметра Ограничимся рассмотрением случая, когда расстояния между отверстиями в областях превышают диаметр одного из них. В этом случае указанную двойную сумму можно разложить в сходящийся ряд по степеням в. Ограничиваясь в разложениях членами, содержащими в степени, не выше четвертой, получаем

Здесь

Для определения коэффициентов а применим метод малого параметра. Будем искать эти коэффициенты в виде рядов по степеням

При конформном преобразовании области вне единичного круга у на внешности основных отверстий в областях переменные в точках контура у равны а

Используя разложение (4.40), получаем

Учитывая формулы (4.40) — (4.42), подставляем выражения (4.39) в граничное условие (2.1) и приравниваем члены при одинаковых степенях Тогда для определения функций получаем ряд задач, которые соответствуют граничным задачам для пластинки с одним основным отверстием, методы решения которых изложены в гл. II.

Приведем окончательные результаты для напряжений (Те, действующих вблизи основного отверстия, в нулевом и первом приближениях.

В нулевом приближении, которое соответствует случаю, когда пластинка ослаблена одним основным отверстием (в разложениях сохраняются только члены, не содержащие в качестве множителя параметр ),

В первом приближении (в разложениях сохраняются члены, содержащие

В формулах (4.43), (4.44)

Устремив в формулах (4.43), к единице и проделав предельные переходы, получим аналогичные соотношения для изотропной пластинки. В этом случае

Если в формулах (4.44), (4.46) и (4.47) положить равными нулю, то получим выражения для напряжений,

которые возникают в пластинке с одним бесконечным рядом эллиптических отверстий. Если же устремить к нулю то выражение устремится к и в этом случае получим формулы для напряжений, возникающих в пластинке с двумя эллиптическими отверстиями.

Рассмотренный вариант метода малого параметра приводит решение поставленной задачи к получению достаточно простых формул для напряжений. Однако применять его целесообразно лишь в случае, когда расстояние между отверстиями в областях превышает диаметр одного из них. Если же этого не наблюдается, то для получения решения необходимой точности нужно брать много приближений, что приводит к весьма громоздким формулам. В таких случаях задачу целесообразно привести к решению бесконечной алгебраической системы, методы получения которой будут изложены в последующих параграфах.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление