Главная > Разное > Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Периодическая задача для пластинки с эллиптическими отверстиями

Рассмотрим ортотропную пластинку, ослабленную большим (теоретически бесконечным) числом одинаковых эллиптических отверстий, полуоси которых равны Центры отверстий лежат на одной прямой, которую примем за ось х декартовой системы координат. Начало координат поместим в центре одного из отверстий (оно может быть любым), которое назовем основным. Контур этого отверстия обозначим через Расстояния между центрами отверстий одинаковы и равны

Будем считать, что все отверстия загружены одинаково, причем главный вектор внешних усилий, приложенных к каждому из отверстий, равен нулю.

В такой пластинке напряжения периодически меняются в направлении оси причем период равняется что позволяет существенно упростить решение задачи о напряженном состоянии рассматриваемой пластинки. При этом необходимо потребовать удовлетворения заданных граничных условий только на контуре На остальных контурах, в силу периодичности задачи, они будут удовлетворены автоматически.

Выражения для функций представим так:

Знак означает отсутствие в сумме слагаемого с индексом Переменные и связаны с неявными зависимостями вида

Зависимости (4.31) и (4.32) возникают при конформном отображении внешности единичного круга на внешности эллипсов, получающихся при аффинных преобразованиях в областях

Первые суммы в выражении (4.30) представляют собой функции, голоморфные вне эллиптических отверстий а вторые — функции, голоморфные внутри этих отверстий, включая их границы.

Если вокруг эллиптических отверстий в областях провести окружности, не пересекающиеся друг с другом, то вторые суммы можно разложить в сходящиеся ряды по малому параметру Сохраним в указанных разложениях слагаемые, содержащие в качестве множителя малый параметр в степени, не выше четвертой. Тогда выражение (4.30) примет вид

Здесь Коэффициенты определяются методом рядов из граничных условий (1.52) на контуре При этом следует иметь в виду, что на контуре единичного круга а переменная выражается через по формуле (4.31).

Остановимся на случае, когда пластинка растягивается на бесконечности усилиями соответственно вдоль и поперек линии центров отверстий.

Алгебраическая система для определения коэффициентов получается такой:

Здесь

Коэффициенты получаются из если в формулах (4.35) заменить на

Рис. 4.6

Рис. 4.7

В результате решения системы (4.34) становятся известными функции (4.33), что позволяет по формуле (2.17) вычислить напряжения возникающие в пластинке вблизи контура основного отверстия.

На рис. 4.6, 4.7 приведены графики распределения напряжений для пластинки, изготовленной из

Сплошные линии графиков соответствуют случаю, когда пластинка ослаблена бесконечным рядом отверстий расстояние между отверстиями равно половине большой оси эллипса), а пунктирные — когда пластинка ослаблена одним отверстием.

При увеличении количества отверстий, ослабляющих пластинку, концентрация напряжений возрастает при ее растяжении поперек линии центров и существенно уменьшается при растяжении вдоль этой линии.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление