Главная > Разное > Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Применение метода малого параметра для пластинки, обладающей сильной анизотропией

Для многих ортотропных материалов величины или представляют собой малые параметры.

Если направление волокон материала пластинки совпадает с осью х декартовой системы координат, то, как следует из работ [54, 76], для дельта-древесины, фанеры, березы, ели соответственно равны

Это обстоятельство позволяет при изучении напряженного состояния таких пластинок использовать метод малого параметра. Суть данного метода рассмотрим на примере пластинки с двумя одинаковыми и одинаково загруженными эллиптическими отверстиями, когда малым параметром является (если малым параметром является величина то построение решения проводится аналогичным образом).

Представления для комплексных потенциалов имеют вид (4.3).

Граничные условия (1.52) на контуре правого отверстия, учитывая, что перепишем так:

Функции характеризуют загружение правого отверстия.

Граничные условия (4.11) запишем так:

Будем искать функции в виде рядов по степеням малого параметра

Подставим разложения (4.13) в граничные условия (4.12) и приравняем выражения при одинаковых степенях Тогда для определения функций

получим последовательность граничных задач, каждая из которых предусматривает нахождение только одной функции из одного граничного условия.

В нулевом приближении граничное условие для определения функции получается таким:

После нахождения функции методами, подробно рассмотренными в гл. II, функцию можно определить из следующего граничного условия:

В первом приближении граничное условие для нахождения функции примет вид

Получение граничных условий для определения функций последующих приближений проводится аналогичным образом.

Основной трудностью при решении рассматриваемой задачи является выражение функций через переменную а на контуре единичного круга путем использования представлений (4.3).

На контуре

Чтобы выразить функции через а, следует воспользоваться второй формулой (4.4), учитывая при этом, что связаны с зависимостями (4.17). В результате получим

Перед радикалом взят знак минус в связи с тем, что при рассматриваемом конформном отображении большим значениям соответствуют большие значения

Представим подрадикальное выражение (4.18) в виде

Коэффициенты выразим так:

Рассмотрим один из множителей выражения (4.19):

Здесь

Аналогичным путем найдем

где

Таким образом, имеем

Для всех ранее рассмотренных материалов пластинки, у которых коэффициенты получаются больше либо меньше единицы. Поэтому корни в зависимости от величин можно разложить в абсолютно сходящиеся ряды по положительным либо по отрицательным степеням а. Перемножая эти ряды, в конечном итоге получаем искомые разложения для функций В результате на контуре у будем иметь

Здесь

Коэффициенты возникают при разложении в ряды по степеням а функций

В связи с тем, что во внутренних областях, ограниченных правыми эллипсами, функции являются голоморфными, их можно разложить в этих областях (включая границы) в ряды по полиномам Фабера [56]. Эти разложения на контуре приводят к формуле (4.28). Однако вычисление коэффициентов описанным выше методом осуществляется проще, в особенности при использовании ЭВМ.

Представим коэффициенты и в виде рядов по степеням

В результате функции будут разложены в ряды вида Определение коэффициентов щит из граничных условий и последующих проводится методом рядов. Количество приближений выбирается таким образом, чтобы очередное из них вносило добавки в коэффициенты не превышающие 0,01% от максимальных величин а.

Рис. 4.4

Рис. 4.5

Для приведенных анизотропных материалов это достигалось в четвертом-пятом приближениях.

Знание приближенных значений коэффициентов а позволяет на основании выражений (4.26) по формулам (1.43) вычислить напряжения, возникающие в пластинке с отверстиями. К ним нужно добавить напряжения, возникающие в пластинке без отверстий.

При вычислении напряжений вблизи правого отверстия можно воспользоваться формулой (2.17), учитывая напряжения в сплошной пластинке.

На рис. 4.4, 4.5 приведены графики, характеризующие изменение напряжений вблизи правого контура для случая, когда отверстия являются круговыми. Расстояние между отверстиями равно половине радиуса одного из них. Сплошные линии графиков относятся к случаю, когда пластинка изготовлена из фанеры а пунктирные — когда материал является изотропным.

Из графиков видно, что усиление анизотропии в обоих случаях загружения пластинки вызывает увеличение концентрации напряжений.

В табл. I приведены значения напряжений в некоторых наиболее интересных точках правого отверстия для различных расстояний между отверстиями.

Таблица 1 (см. скан)

При этом считалось, что пластинка изготовлена из фанеры, а направление ее волокон совпадает с осью х.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление