Главная > Разное > Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава IV. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИНКИ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОТВЕРСТИЯМИ

§ 1. Растяжение ортотропной пластинки с двумя эллиптическими отверстиями

Имеем ортотропную пластинку с двумя одинаковыми эллиптическими отверстиями, полуоси которых обозначим через Расстояние между центрами отверстий равно 21. Контуры отверстий и свободны от внешних усилий, а на бесконечности пластинка растягивается усилиями соответственно вдоль и поперек линии центров отверстий (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Главные направления упругости материала пластинки, если это не оговорено, параллельны вводимым осям координат.

За счет усилий в сплошной пластинке возникает следующее поле напряжений:

На воображаемых контурах отверстий поле напряжений (4.1) создаст усилия, проекции которых на оси х и у будут равны

Снимем эти усилия с воображаемых контуров. Тогда к полю напряжений (4.1) добавится второе поле. Для его определения необходимо решить плоскую задачу о напряженном состоянии анизотропной пластинки с двумя эллиптическими отверстиями, к контурам которых приложены усилия а на бесконечности усилия отсутствуют.

Сумма указанных полей напряжений даст картину напряженного состояния анизотропной пластинки с двумя свободными от загружения эллиптическими отверстиями, когда на бесконечности пластинка растягивается усилиями

Для определения второго поля напряжений из граничных условий (1.52) на контурах отверстий найдем комплексные потенциалы

Учитывая геометрическую и силовую симметрию, для функций примем следующие представления:

Здесь переменные связаны с неявными зависимостями вида

где

Зависимости (4.4) возникают при конформном отображении области вне единичного круга у на внешности правого и левого эллипсов в областях Функции

голоморфны в областях соответственно вне правых и вне левых эллиптических контуров. В связи с этим заключаем, что функции будут голоморфными в областях внутри правых контуров, где их можно разложить в сходящиеся ряды по полиномам Фабера [79]. Если же вокруг правых эллипсов провести окружности, не задевая при этом левых эллипсов, то функции для внутренних точек указанных окружностей можно разложить в ряды Тейлора, которые будут иметь следующий вид:

где

Эти разложения проводятся с целью построения эффективного метода для определения коэффициентов а из граничных условий (1.52) на контуре правого отверстия. На контуре левого отверстия условия будут удовлетворены

автоматически ввиду наличия в рассматриваемой задаче силовой и геометрической симметрии.

При вычислении коэффициентов следует иметь в виду, что они зависят от малого параметра Если в областях расстояние между отверстиями превышает половину диаметра одного из них (под диаметром отверстия понимается большая ось эллипса), то в разложениях (4.8) можно сохранить лишь слагаемые, которые содержат параметр в степени, не выше четвертой. Тогда искомое решение получается наиболее простым.

Для определения коэффициентов из граничного условия (1.52) на контуре правого отверстия, где обычным методом рядов получим следующую алгебраическую систему:

Здесь

Значения и с находятся по формулам (4.5).

После определения из системы (4.9) коэффициентов станут известными функции (4.3), посредством

которых по формулам (1.43) находятся напряжения, возникающие в пластинке. К полученным выражениям следует добавить соотношения (4.1).

Напряжения (те, возникающие в пластинке вблизи правого отверстия, определяются по формуле (2.17), где следует заменить на

Рис. 4.2

Рис. 4.3

На рис. 4.2, 4.3 даны графики распределения этих напряжений. Сплошные линии графиков соответствуют случаю, когда пластинка ослаблена двумя эллиптическими отверстиями, расстояние между ними равно а, а отношение 2. Пунктирные линии относятся к случаю, когда пластинка ослаблена одним эллиптическим отверстием.

При этом считалось, что анизотропная пластинка изготовлена из СВАМа, для которого [1].

При более близких расстояниях между отверстиями вместо системы (4.2) следует получить бесконечную алгебраическую систему. Она оказывается, как это установлено в работе [34], квазирегулярной при любой сколь угодно малой близости эллиптических отверстий друг к другу. Такие системы можно решать методом редукции. Они будут получены в дальнейшем для различных многосвязных пластин.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление