Главная > Разное > Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Определение напряжений в пластинке с криволинейным отверстием

Рассмотрим пластинку с криволинейным отверстием, контур которого задан уравнениями вида

Здесь постоянные коэффициенты; количество членов суммы.

Аффиксы точек контуров которые возникают в областях получаются такими:

где

Если в выражении (3.21) коэффициенты равны нулю то

Величины являются малыми параметрами. Введение двух малых параметров целесообразно для случаев, когда количество коэффициентов входящих в уравнения (3.21), больше или равно двум.

Как и в § 1, выражения (3.22) методом Л. В. Канторовича приведем к виду

Коэффициенты будут определены ниже.

Учитывая, что при полярный угол при малых значениях проводим следующие

разложения:

где некоторые вещественные функции, подлежащие определению.

На основании формул (3.26) можно записать

Разложим выражения (3.27) в ряды по малым параметрам Ограничившись членами, содержащими в степени, не выше Третьей, получим

Функции будем искать в виде

Подставим выражения (3.29) в формулы (3.28). Получим

Если отверстие является прямоугольным (квадратным), то коэффициенты имеют вид

Величины получаются соответственно из с-дг в результате замены на

Выражения для коэффициентов можно определить из соотношений (3.31), если в последних заменить на

Чтобы определить постоянные подставим соответствующие значения формул (3.30) в выражение (3.22) и приравняем нулю коэффициенты при положительных степенях Получим

Коэффициенты входящие в формулу (3.25), принимают вид

Для определения постоянных подставим второе выражение разложений (3.26) в первое. Получим

На основании формул (3.29) равенство (3.34) перепишется так:

Выразим в соотношениях (3.35) а через использовав первую формулу выражения (3.30), и приравняем нулю коэффициенты при одинаковых степенях Получим

Знание коэффициентов позволяет по второй формуле соотношений (3.30) выразить а; через а. Полученные разложения могут быть использованы при вычислении напряжений в пластинке вблизи контура криволинейного отверстия.

Формула (3.25), где все коэффициенты стали известными величинами, позволяет выписать отображающие функции области вне единичного круга на области вне контуров Эти функции запишем в виде

где

Как и в § 1, комплексные потенциалы представим в виде разложений (3.18), где связаны с зависимостями (3.37).

Определение коэффициентов из граничных условий (3.19) проводится таким же образом, как и в § 1. Напряжения, возникающие в пластинке, вычисляются по формулам (1.43).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление