Главная > Разное > Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава III. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИНКИ С КРИВОЛИНЕЙНЫМ ОТВЕРСТИЕМ

§ 1. Построение приближенного решения

Пусть пластинка, рассмотренная в § 1 гл. II, ослаблена криволинейным отверстием, отличающимся от эллиптического (кругового). В областях контур отверстия перейдет в контуры Однако точки, находящиеся в аффинном соответствии, переходят в разные точки на контуре у. Это препятствует получению точного решения задачи о напряженном состоянии рассматриваемой пластинки. Приближенное решение впервые было найдено С. Г. Лехницким [54]. Рассмотрим метод, позволяющий контролировать точность решений проверкой удовлетворения граничных условий [35].

Остановимся на случае, когда пластинка ослаблена квадратным отверстием с закругленными углами. Функцию, конформно отображающую внешность единичного круга

на область вне квадратного отверстия, возьмем в виде

При кривизны в угловых точках контура соответственно равны 4,5 и 10 [74]. Уравнение контура отверстия будет таким:

Аффикс точки контура

В областях при уравнения контуров запишутся так:

Поэтому

Здесь

Следуя Канторовичу [24], представляем аффиксы контуров в виде

где — неизвестные постоянные коэффициенты. Их определение проведем методом малого параметра. В рассматриваемом случае таким параметром является коэффициент

Из выражений (3.5) и (3.7) следует, что при Следовательно, полярные углы и 8 будут также равны друг другу, если принять, что они изменяются в пределах от нуля до

Представим угол в виде ряда по степеням малого параметра

Функции зависят от углов и подлежат определению.

Теперь выражение примет вид

Ряд Маклорена для функции (3.9), зависящей от малого параметра ту будет таким:

Подставим выражения в формулу (3.5), сохранив в ней члены, содержащие малый параметр в степени, не выше второй. Получим

Функции выберем в следующем виде:

При условии, что в квадратных скобках выражения отсутствуют члены, содержащие в положительных степенях, коэффициенты

Теперь выражение (3.11) станет таким:

где

На основании формул (3.13) найдем

Знание выражений (3.14) позволяет записать отображающие функции внешности единичного круга на области вне контуров Эти функции будут иметь следующий вид:

Комплексные потенциалы в областях при условии, что главный вектор внешних усилий, приложенных к контуру отверстия, равен нулю, можно представить так:

Рис. 3.1.

При этом связаны с зависимостями (3.17).

Подставим выражения (3.18) в граничные условия (1.52). Будем иметь

Функции зависят от загружения пластинки. Например, если пластинка с квадратным отверстием растягивается вдали от него усилиями (рис. 3.1), то, как это следует из формул (2.13) и (3.2),

Для определения постоянных следует подставить выражения (3.16) в граничные условия (3.19) и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях а. Количество неравных нулю искомых постоянных зависит как от загружения пластинки, так и от числа членов, оставляемых в разложениях (3.10). Установить достаточность количества постоянных можно после проверки в большом числе точек контура отверстия точности удовлетворения граничных условий, когда функции (3.18) будут найдены в том или другом приближении. Во всех рассмотренных задачах допускалась погрешность, не превышающая 1% от величины интенсивности заданной нагрузки.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление