Главная > Математика > Новые встречи с геометрией
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Фокус и директриса

Если коническое сечение рассматривается как образ при полярном преобразовании окружности с центром в точке А (относительно окружности то поляра точки А называется директрисой (соответствующей фокусу О) этого конического сечения. Расстояние от фокуса до произвольной точки называется

фокальным расстоянием этой точки. Теперь мы приступаем к выводу одного из самых замечательных свойств конического сечения (доказательство которого в IV веке н.э. было найдено Паппом Александрийским; однако, возможно, оно было известно уже Евклиду, жившему шестью столетиями раньше).

Теорема 6.41. Для любой точки на коничеч. ском сечении с эксцентриситетом фокусом О и директрисой а ее фокальное расстояние равно произведению числа на расстояние от точки до директрисы а.

На рисунках 125—127 точка является полюсом (относительно окружности и) прямой которая касается окружности а в точке пересекает прямую в точке и пересекает прямую в точке (образе точки при инверсии относительно окружности и). Директриса и поляра точки пересекают прямую в точках А (образе точки А при инверсии) и (образе точки при инверсии); кроме того, точка К является основанием перпендикуляра, опущенного из точки на прямую а. Мы хотим доказать, что Для того чтобы учесть все возможности, мы будем считать все расстояния, рассматриваемые на прямой направленными расстояниями (т. е. , даже если точка О лежит между точками Введя радиусы окружностей , мы получим

что и требовалось.

Обратно,

Теорема 6.42. Для любой точки О, любой прямой а, не проходящей через точку О, и любого положительного числа множество точек, расстояние каждой из которых от точки О равно расстоянию

(кликните для просмотра скана)

до прямой а, умноженному на является коническим сечением.

Это легче всего увидеть, приняв в качестве окружности и с центром в точке О такую окружность, которая касается прямой о; при этом точка А становится точкой касания. Тогда окружностью а является окружность с центром в точке А радиуса

Упражнения

1. Получите уравнение, связывающее декартовы координаты множества точек расстояния которых от начала координат равны произведению числа на расстояния их до прямой

2. Если то множество, описанное в упражнении 1, пересекает ось дважды. Передвиньте ось так, чтобы новое начало координат находилось ровно посередине между двумя этими точками пересечения. Упростите уравнение, используя константы вместо Какие выводы можно сделать из этого уравнения о симметричности рассматриваемой кривой?

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление