Главная > Математика > Новые встречи с геометрией
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Теорема Менелая

Менелай Александрийский (приблизительно 100 год нашей эры, не путайте с Менелаем из Спарты) написал трактат, называемый «Sphaerica» (Сферика), в котором он использовал некоторое свойство сферического треугольника; он писал так, как будто аналогич ное свойство плоского треугольника было уже хорошо известно. Может быть, это так и было, но поскольку никаких более ранних письменных упоминаний об этом не сохранилось, нам ничего не остается, как назвать соответствующее высказывание теоремой Менелая. Используя обозначения направленных отрезков (§ 1 гл. 2), ее можно сформулировать следующим разом (см. рис. 56 и 57):

Теорема 3.41. Если точки лежащие на сторонах (соответственно продолженных) треугольника коллинеарны, то

Обратно, если это уравнение выполняется для точек лежащих на трех сторонах треугольника, то эти три точки коллинеарны.

Пусть заданы коллинеарные точки как на рисунке 56 или 57. Обозначим через длины перпендикуляров, опущенных из точек на прямую считая те из них положительными, которые находятся по одну сторону от этой прямой, и отрицательными те, которые лежат по другую сторону.

Рис. 56.

Рис. 57.

Пере множив следующие три уравнения:

мы получим желаемый результат. (Заметим, что для того, чтобы разместить на сторонах треугольника три различные коллинеарные точки всегда необходимо продолжить либо все три, либо только одну из сторон треугольника.)

Обратно, если точки расположены на трех сторонах таким образом, что

то, обозначив через точку пересечения прямых и получим

Следовательно,

точка совпадает с точкой и мы доказали, что точки коллинеарны.

Мы замечаем, что теорема Менелая дает критерий коллинеарности, так же как теорема Чевы (1.21 и 1.22) дает критерий конкурентности. Чтобы подчеркнуть их противоположность, мы можем выразить уравнение Менелая в другой форме:

Упражнения

1. Биссектрисы внешних углов разностороннего треугольника пересекают соответствующие противоположные стороны в трех коллинеарных точках.

2. Биссектрисы двух внутренних углов разностороннего треугольника и биссектриса внешнего угла при третьей вершине пересекают соответствующие противоположные стороны в трех коллинеарных точках.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление