Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Нелинейные электромагнитные волны в изотропных диэлектриках

В рассматриваемом случае следует исходить из уравнений Максвелла

или после исключения

При этом, вообще говоря, вектор поляризации зависит (нелинейным образом) от значений напряженности электрического поля при всех значениях времени (пространственной дисперсией для простоты пренебрегаем).

Будем предполагать, что электромагнитное поле является квазимонохроматическим, т. е.

где медленно изменяются со временем сравнению с фазовым множителем

Если при этом физические процессы, приводящие к нелинейности, протекают достаточно быстро по сравнению со временем изменения амплитуд в (8.4), то нелинейную часть вектора поляризации можно представить в виде разложения по степеням электрического поля. Первый неисчезающий член такого ряда, описывающий нелинейные эффекты на основной частоте о, имеет вид

где некоторые параметры среды (зависящие от

Простейшим механизмом нелинейности, приводящим к выражению (8.5), является оптический эффект Керра, заключающийся в ориентации анизотропных молекул в поле волны. В этом случае можно показать, что между коэффициентами в формуле (8.5) имеет место соотношение [22, 23]

Нетрудно убедиться, что в случае, когда имеет место (8.5), уравнениям Максвелла удовлетворяет решение вида (8.4), где

и амплитуды не зависят от времени. Полагая в (8.3)

где диэлектрическая проницаемость в линейном приближении, получим

Для линейно поляризованной волны, распространяющейся, скажем, вдоль оси имеем

Таким образом, нелинейная добавка в показателе преломления для линейно поляризованной волны равна

Здесь — показатель преломления в линейном приближении. Для волны с круговой поляризацией получаем

Таким образом, при нелинейные эффекты приводят к различным показателям преломления для волн с линейной и круговой поляризациями. Если, в частности, нелинейность обусловлена эффектом Керра, т. е. имеет место соотношение (8.6), то отношение нелинейных добавок показателя преломления для волн с линейной и круговой поляризацией равно четырем.

Эллиптически поляризованные волны с постоянными во времени амплитудами, вообще говоря, не удовлетворяют нелинейному уравнению (8.3), т. е. эллипс поляризации должен поворачиваться. Это явление наблюдалось экспериментально (подробнее см. в [11]).

Кроме эффекта Керра существует целый ряд других процессов, приводящих к нелинейным членам в выражении для вектора поляризации Среди них — электрострикция (изменение плотности среды под действием сил давления электромагнитного поля), ионизация среды полем волны и т. д. Остановимся здесь подробнее на электрострикции.

В этом случае нелинейный показатель преломления не может зависеть от типа поляризации. Поэтому в выражении (8.5)

Стрикционные эффекты, в частности, могут играть преобладающую роль в изотропной достаточно разреженной плазме [9]. Диэлектрическая проницаемость последней определяется, как известно, выражением

В сильном высокочастотном поле (8.4) на каждую частицу действует средняя сила, вызванная давлением волны и равная где [24, 25],

Если размеры неоднородности поля много больше дебаевского радиуса, то вследствие (8.16)

Таким образом, нелинейные стрикционные эффекты становятся большими, когда напряженность поля близка к При получаем

Мы пренебрегали диссипативными процессами. Если последние становятся существенными, то в плазме (а также и в других средах) появляется ряд дополнительных механизмов нелинейности, рассмотренных, например, в [17, 26, 9].

Следует отметить, что если нелинейные эффекты определяются электрострикцией, справедливость выражения (8.5) весьма ограничена: им можно пользоваться только в том случае, когда изменение плотности среды и соответственно амплитуд поля происходит со скоростью, значительно меньшей скорости звука. В общем случае надо рассматривать уравнения Максвелла совместно с уравнениями гидродинамики или теории упругости. Соответствующие нелинейные волны можно называть электроакустическими.

Рассмотрим, например, общие уравнения, описывающие электроакустические волны в жидкостях. В этом случае состояние среды описывается уравнениями гидродинамики

где плотность сил давления электромагнитного поля, которую в соответствии с результатами работы [27] можно представить в виде

где — диэлектрическая проницаемость жидкости. Для газов есть линейная функция плотности, и можно написать (см., например, [28])

Выражение для силы принимает при этом более простой вид

Перейдем теперь к обсуждению уравнений Максвелла, которые сводятся к уравнению (8.3) и соотношению, связывающему индукцию с напряженностью поля Поскольку свойства среды медленно меняются со временем (как и плотность то последнее соотношение

должно иметь следующий общий вид:

где функция определяет диэлектрическую проницаемость нестационарной среды введенную Л. П. Питаевским [27]

(При этом предполагается, что Как показано в цитированной выше работе [27], функция не совпадает, вообще говоря, с диэлектрической проницаемостью стационарной среды в которую подставлено Общее соотношение между этими двумя величинами имеет вид

(если, разумеется, свойства среды достаточно медленно изменяются со временем

Из (8.24), (8.25) и (8.4) следует, что

Из (8.27), (8.26), уравнений Максвелла (8.1) и гидродинамики (8.19) — (8.21) вытекает закон сохранения полной энергии среды и поля в следующей форме:

где — внутренняя энергия среды, приходящаяся на единицу массы.

При исследовании электроакустических процессов в дальнейшем мы будем предполагать, что отклонение плотности от равновесного значения мало, т. е.

В этом случае можно написать

Учитывая при этом, что

мы можем получить из приведенных выше соотношений следующее приближенное уравнение для амплитуды электрического поля Е:

где опущены члены более высокого порядка малости, чем Применение этого уравнения к плазме рассматривается в § 30 и в Приложении Б.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление