Главная > Разное > Нелинейные волны в диспергирующих средах
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Нелинейные волны в плазме, находящейся в сильном магнитном поле

Перейдем теперь к плазме, находящейся в магнитном поле. Рассматривая для простоты случай, когда магнитное давление значительно больше кинетического, т. е. и скорости волн значительно меньше скорости света с, мы можем принять в качестве основных следующие уравнения:

Будем также предполагать, что выполняются условия квазинейтральности

что законно, если частоты колебаний малы по сравнению с ионной ленгмюровской частотой Вводя «массовую» скорость плазмы

и складывая (7.1), (7.2), а также используя (7.4), (7.6),

получим

Из (7.1), (7.2) и (7.7) получаем

Подставляя (7.9), (7.6), (7.7) в уравнения Максвелла (7.4), (7.5), будем иметь

Уравнения (7.8), (7.10), (7.11) совместно с уравнением непрерывности

образуют полную систему уравнений «холодной» плазмы в случае низкочастотных колебаний

Последние два члена в уравнении (7.11) очень малы при условии

Если ими пренебречь, то основные уравнения переходят в уравнения магнитной гидродинамики, в которых опущен член с

Если положить

и пренебречь квадратами возмущений то получившиеся линейные уравнения относительно этих величин приводят к следующему закону дисперсии для линейных колебаний:

где а — угол между волновым вектором и магнитным полем, с — скорость света, а альфвеновская скорость:

Знаки отвечают двум типам волн. В предельном случае длинных волн

дисперсионные уравнения для этих двух ветвей принимают вид

т. е. переходят в дисперсионные уравнения для быстрой магнитозвуковой и альфвеновской волн в магнитной гидродинамике (когда Соответственно две ветви, отвечающие знакам уравнениях (7.14), мы также будем называть магнитозвуковой и альфвеновской. В дальнейшем мы ограничимся изучением лишь магнитозвуковых волн и предположим, что угол между направлением распространения и магнитным полем не слишком мал, а именно

т. е. не будем рассматривать волны, распространяющиеся вдоль магнитного поля и близкие к ним (следует отметить, что в случае достаточно длинных волн нижняя граница для а весьма мала).

Разлагая (7.14) для магнитозвуковой ветви с точностью до членов второго порядка по включительно, получим

Это соотношение относится к типу (3.1), причем

Для волн, распространяющихся поперек магнитного поля параметр принимает вид

и дисперсионные эффекты становятся большими при

соответствуют частоты . Величину

можно называть длиной дисперсии для гидромагнитных волн, распространяющихся поперек магнитного поля. У косых волн характер дисперсии существенно изменяется. В частности, при изменяется знак дисперсии — параметр в (7.20) становится отрицательным, т. е. такие волны качественно аналогичны капиллярным волнам на поверхности жидкости (§ 5), в то время как волны, распространяющиеся поперек магнитного поля, аналогичны гравитационным поверхностным волнам в неглубокой воде.

При существенно изменяется и порядок длины дисперсии, а именно, в этом случае

Вернемся теперь к нелинейным уравнениям (7.8) — (7.12). Рассмотрим сначала движение плазмы поперек магнитного поля. Пусть последнее направлено параллельно оси а скорость — параллельно плоскости и все величины зависят только от

Если рассматривать случай достаточно длинных волн (по сравнению с длиной дисперсии и считать амплитуду достаточно малой, удерживая лишь члены второго порядка по т. е. рассматривать такое же приближение, как при выводе уравнений Буссинеска для гравитационно-капиллярных волн (§ 5), то нетрудно прийти к следующим уравнениям:

где определено в (7.22). После подстановки эти уравнения принимают точно такой же вид, как и уравнения для гравитационных волн в неглубокой воде в приближении Буссинеска (см. (5.17), (5.18)). При этом

малые параметры имеют здесь вид

Сходство основных уравнений позволяет говорить об аналогии между гравитационными волнами в жидкости и волнами в плазме (впервые это было отмечено в [19—20]).

Рассмотрим теперь косые волны. При этом мы будем считать движение одномерным, так чтобы параметр дисперсии (7.20) был постоянным. Таким образом, все величины будут функциями только

Удобно ввести вместо координату Лагранжа х, которая определяется как координата частицы в какой-нибудь фиксированный момент времени

Тогда можно написать:

Обозначая вторую частную производную через

получаем соотношения, определяющие переход к новым независимым переменным

Отсюда следует, что

Используя (7.28), (7.29), можно привести уравнение (7.12) к виду откуда вытекает, что где есть плотность в момент времени когда Не нарушая общности, всегда можно считать, что в момент система находилась в невозмущенном состоянии с постоянной плотностью

Таким образом, можно написать

Уравнения (7.8), (7.10), (7.11) в лагранжевых координатах принимают вид

(последнее вытекает из уравнения Простыми преобразованиями из этих уравнений можно исключить все скорости; после этого будем иметь (в дальнейшем опускаем штрихи при х) с точностью до членов порядка

и

где — невозмущенное магнитное поле, составляющее угол а с направлением распространения волны, т. е. осью х. (При получении (7.36) мы воспользовались соотношением

Рассмотрим теперь, что получается из уравнений (7.37), (7.38) в том приближении, которое приводит к уравнениям Буссинеска. Введем малые параметры

и ограничимся членами второго порядка по этим величинам. В первом приближении по параметрам (7.39) мы получим линейные уравнения, приводящие к дисперсионным формулам (7.17).

В случае магнитозвуковой ветви (исследованием которой мы здесь ограничимся) нетрудно проверить, что в. первом приближении Следовательно, Я— величина второго порядка по отношению к величинам (7.39) и ее можнс сразу определить из (7.37), если заменить на Ограничиваясь членами наинизшего порядка малости в (7.37), будем иметь

Подставляя это в (7.38), получаем

где параметр дисперсии, определенный формулой (7.20).

Соотношения (7.36), (7.41) можно рассматривать как полную систему уравнений в лагранжевых

координатах с точностью до членов второго порядка по параметрам (7.39). Если перейти от к соответствующим возмущениям

то система (7.36), (7.41) сводится с принятой точностью к одному уравнению [21]

При это уравнение можно также получить из уравнений Буссинеска (7.25), если перейти в последних к лагранжевым координатам.

В линейном приближении из (7.43) следует дисперсионное уравнение (7.19).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление